Übungen zur Analysis I (WS 1999/2000)

Blatt 1

Aufgabe 1 (4 Punkte) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion für n ∈ ℕ:

(a) ∑_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{1}{4}n^{2}(n + 1)^{2}.

(b) ∑_{k=1}^{n} k^{4} = \frac{1}{30}n(n + 1)(2n + 1)(3n^{2} + 3n − 1).

Aufgabe 2 (4 Punkte)

(a) Zeigen Sie für alle n, m ∈ ℕ mit n ≥ m

∑_{k=m}^{n} \binom{k}{m} = \binom{n + 1}{m + 1}.

(b) Zeigen Sie für alle n ∈ ℕ

∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n} und ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}\binom{n}{k} = 0.

Aufgabe 3 (4 Punkte) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ ℕ gilt: 11^{n+1} + 12^{2n−1} ist ein Vielfaches von 133.

Aufgabe 4 (4 Punkte) In einem Raum mit nur einer Tür befinden sich Personen, die entweder einen roten oder einen blauen Hut tragen. Jede Person sieht die Farbe der Hüte aller anderen Personen, weiß aber die Farbe des eigenen Hutes nicht. Die Tür öffnet sich nun jede Minute einmal, und diejenigen Personen, die wissen, dass sie einen roten Hut tragen, dürfen den Raum verlassen. Während der ganzen Zeit kommen keine Personen dazu. Den Personen im Raum ist bekannt, dass mindestens eine Person einen roten Hut trägt. Zu welchen Zeitpunkten verlassen wieviele Personen den Raum, wenn n Personen (n ∈ ℕ) einen roten Hut tragen?

Aufgabe 1* (20 Bonuspunkte) Im Jahre 1883 hat der französische Mathematiker Edourd Lucas ein Geduldsspiel präsentiert, das als die Türme von Hanoi bekannt ist. Gegeben seien drei Stäbe. Auf einem Stab ist zu Beginn ein Turm aus Scheiben aufgesteckt, deren Durchmesser nach oben echt kleiner wird.

Die Aufgabe ist nun, den Turm von diesem Stab auf einen der anderen Stäbe zu transportieren, wobei zu jedem Zeitpunkt nur eine Scheibe von einem Stab zum anderen bewegt werden darf und niemals eine größere auf einer kleineren liegen darf.

(a) Wieviele Züge benötigt man mindestens, wenn der Turm aus n Scheiben (n ∈ ℕ) besteht?

(b) Zu diesem Spiel gibt es folgende Legende: Am Anfang der Zeit hat Gott 64 Scheiben aus purem Gold auf den ersten Stab gelegt und eine Gruppe von Priestern angewiesen, diesen Turm unter Beachtung der oben aufgeführten Regeln auf den dritten Stab zu transportieren. Die Legende sagt, dass die Welt untergeht, sobald sie fertig sind. Wieviele Jahre benötigen die Priester, wenn sie für jeden Zug eine Sekunde brauchen?

Abgabe: Dienstag, 19.10.1999, 14.00 Uhr in Kasten 116 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben!