Übungen zur Analysis I (WS 1999/2000)

Blatt 3

Aufgabe 9 (4 Punkte) Es sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ K die folgenden Ungleichungen gelten.

(a) |x − y| ≥ ||x| − |y||,

(b) max\{x, y\} = \frac{1}{2}(x + y + |x − y|) und min\{x, y\} = \frac{1}{2}(x + y − |x − y|).

Aufgabe 10 (4 Punkte) Es sei a ≠ 1 eine positive reelle Zahl. Ferner seien die Folgen (x_{n})_{n∈ℕ_{0}} und (y_{n})_{n∈ℕ} definiert durch

x_{0} = max{1, a} und

x_{n} = \frac{1}{2}(x_{n−1} + \frac{a}{x_{n−1}} ) für alle n ∈ ℕ

und

y_{n} := \frac{a}{x_{n−1}} für alle n ∈ ℕ.

Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen für alle n ∈ ℕ_{0} gelten. (Hinweis: Die Aussagen bauen aufeinander auf.)

(a) y_{n+1}^{2} < a < x_{n}^{2}. (Daraus folgt sofort x_{n} > 0 für alle n ∈ ℕ_{0} und damit die Wohldefiniertheit der Folgen (x_{n}) und (y_{n}).)

(b) x_{n+1} < x_{n} und y_{n+2} > y_{n+1}.

(c) |x_{n+1} − x_{n+2}| < \frac{1}{2}|x_{n} − x_{n+1}|.

(d) |x_{n+2} − y_{n+2}| < (\frac{1}{2})^{n+1}|x_{0} − x_{1}|.

(e) Sind b und c reelle Zahlen mit y_{n} < b < x_{n} und y_{n} < c < x_{n} für alle n ∈ ℕ, so gilt b = c.

Aufgabe 11 (4 Punkte) Untersuchen Sie die Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} mit

(a) a_{n} = \frac{3n^{4}+6n^{2}}{n^{3}+4} ,

(b) a_{n} = \frac{n^{2}−1}{3n^{2}+1} auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe 12 (4 Punkte) Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ_{0}} sei definiert durch

a_{0} = 3 und
a_{n} = \frac{1}{3}(a_{n−1} + 4) für alle n ∈ ℕ.

Untersuchen Sie diese Folge auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. (Hinweis: Suchen Sie zunächst eine explizite Formel für a_{n}.)

Abgabe: Dienstag, 2.11.1999, 14.00 Uhr in Kasten 116 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben!