Übungen zur Analysis I (WS 1999/2000)

Blatt 4

Aufgabe 13 (4 Punkte) Es sei K ein archimedisch angeordneter Körper. Zeigen Sie:

(a) Ist die Folge (|a_{n}|)_{n∈ℕ} bestimmt divergent gegen ∞, so gibt es ein n_{0} ∈ ℕ, so dass a_{n} ≠ 0 für alle n ≥ n_{0} und (\frac{1}{a_{n}})_{n≥n_{0}} eine Nullfolge ist.

(b) Ist die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge mit a_{n} > 0 für alle n ∈ ℕ, so divergiert die Folge (\frac{1}{a_{n}})_{n∈ℕ} bestimmt gegen ∞.

Aufgabe 14 (4 Punkte) Geben Sie jeweils ein Beispiel von Folgen reeller Zahlen (a_{n}) und (b_{n}) an mit lim a_{n} = ∞ und lim b_{n} = 0, so dass gilt:

(a) lim(a_{n}b_{n}) = ∞.

(b) lim(a_{n}b_{n}) = −∞.

(c) lim(a_{n}b_{n}) = c, wobei c ∈ ℝ vorgegeben ist.

(d) Die Folge (a_{n}b_{n}) ist beschränkt, aber divergent.

Aufgabe 15 (4 Punkte) Entscheiden Sie, ob die untenstehenden Folgen reeller Zahlen beschränkt, konvergent oder bestimmt divergent sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:

(a) (\frac{n^{3} + 3n}{5n^{2} + 7})_{n∈ℕ}.  (b) (\frac{n^{4} − n}{8n^{4} + 7})_{n∈ℕ}.
(c) (\frac{1}{n^{2}} + (−1)^{n})_{n∈ℕ}.  (d) (x^{n}n^{k})_{n∈ℕ}, wobei |x| < 1 und k ∈ ℕ.
(e) (\sqrt{n + 1} − \sqrt{n})_{n∈ℕ}.

Aufgabe 16 (4 Punkte)

(a) Es sei q eine reelle Zahl mit 0 ≤ q < 1. Zeigen Sie: Ist (a_{n})_{n∈ℕ_{0}} eine Folge mit |a_{n+1} − a_{n}| ≤ q|a_{n} − a_{n−1}| für alle n ∈ ℕ, so ist (a_{n}) eine Cauchy-Folge.

(b) Es sei (a_{n})_{n∈ℕ_{0}} eine Folge mit |a_{n+1} − a_{n}| < |a_{n} − a_{n−1}| für alle n ∈ ℕ. Folgt daraus, dass (a_{n}) eine Cauchy-Folge ist?

Aufgabe 2* (20 Punkte)

(a) Es sei z_{0} eine ganze Zahl, und es sei (z_{1}, z_{2}, …) eine Folge von Ziffern (d.h. z_{n} ∈ {0, 1, …, 9} für alle n ∈ ℕ). Zeigen Sie, dass die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} := ∑_{k=0}^{n} z_{k}10^{−k} eine Cauchy-Folge ist. Ist a ihr Grenzwert, so schreibt man a = z_{0}, z_{1}z_{2}z_{3} …, und nennt dies eine Dezimalbruchdarstellung der reellen Zahl a. Diese heißt endlich, wenn es ein n_{0} ∈ ℕ gibt, so dass z_{n} = 0 für alle n ≥ n_{0}. Anderenfalls heißt die Dezimalbruchdarstellung unendlich.

(b) Beweisen Sie, dass jede reelle Zahl genau eine Darstellung als unendlicher Dezimalbruch besitzt.

(c) Beschreiben Sie alle Dezimalbrüche, die rationale Zahlen darstellen.

(d) Es seien a und b rationale Zahlen mit a < b. Zeigen Sie, dass es unendlich viele irrationale Zahlen x (d.h., x ist eine reelle Zahl, aber keine rationale Zahl) gibt mit a < x < b.

Abgabe: Aufgaben 13 - 16: Dienstag, 9.11.1999, 14.00 Uhr im grünen Kasten 116 auf der Ebene D1. Aufgabe 2*: Dienstag, 23.11.1999, 14.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben!