Übungen zur Analysis I (WS 1999/2000)

Blatt 6

Aufgabe 21 (4 Punkte) Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der Gaußschen Zahlenebene:

(a) M_{1} = {z ∈ ℂ | 2 ≤ |z − 5i| < 3}.

(b) M_{2} = {z ∈ ℂ | |z − i| = |z + i|}.

(c) M_{3} = \{z ∈ ℂ | |z| > 1, | Im z| ≤ \frac{1}{2}, Re z > 0\}.

(d) M_{4} = {z ∈ ℂ | |z − 2| ≥ |z + 2|}.

Aufgabe 22 (4 Punkte) Beweisen Sie für z ∈ ℂ mit z ≠ 0:

(a) Re(\frac{1}{z}) = \frac{1}{|z|^{2}} Re(z).

(b) Im(\frac{1}{z}) = −\frac{1}{|z|^{2}} Im(z).

Aufgabe 23 (4 Punkte) Für welche Werte der reellen Zahl t hat die Gleichung

4i z^{2} + (−2 + i 4t)z − 5 + 4i = 0

genau eine bzw. zwei verschiedene komplexe Zahlen als Lösung. Bestimmen Sie diese Lösungen.

Aufgabe 24 (4 Punkte) Eine Schnecke sitzt am Anfang eines 10000 m langen Gummibandes. Jeden Tag kriecht sie einen Meter voran. Nachts, wenn sie ruht, dehnt ein Dämon das Band gleichmäßig so aus, dass es 10000 m länger wird. Der Dämon und die Schnecke seien unsterblich und das Band unbegrenzt dehnbar. Erreicht dann die Schnecke jemals das Ende des Bandes?

Abgabe: Dienstag, 23.11.1999, 14.00 Uhr im grünen Kasten 116 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben!