Übungen zur Analysis I (WS 1999/2000)

Blatt 8

Aufgabe 29 (4 Punkte) Für n ∈ ℕ sei a_{n} := (1 + \frac{1}{n})^{n} und b_{n} := (1 + \frac{1}{n})^{n+1}. Zeigen Sie:

(a) Die Folgen (a_{n}) und (b_{n}) sind konvergent. (Hinweis: Für die Monotonieuntersuchungen ist die Bernoulli-Ungleichung nützlich.)

(b) Es gilt a_{n} < e für alle n ∈ ℕ und lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} = lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n+1} = e, wobei e die Eulersche Zahl bezeichnet. (Hinweis: Überlegen Sie sich, dass für alle k ∈ ℕ_{0} gilt \binom{n}{k} \frac{1}{n^{k}} ≤ \frac{1}{k!} und lim_{n→∞} \binom{n}{k} \frac{1}{n^{k}} = \frac{1}{k!}.) (Kommentar: Es folgt insbesondere, dass

(1 + \frac{1}{n})^{n} < e < (1 + \frac{1}{n})^{n+1} für alle n ∈ ℕ.)

Aufgabe 30 (4 Punkte) Untersuchen Sie, in welchen Punkten die Funktion f : ℝ → ℝ mit

f(x) := \{ \begin{matrix}x , & falls x rational, \\ 1 − x, & falls x irrational, \end{matrix}

stetig ist.

Aufgabe 31 (4 Punkte) Es seien f, g : ℝ → ℝ stetige Funktionen, so dass für alle x ∈ ℚ gilt f(x) = g(x). Zeigen Sie, dass dann die beiden Funktionen schon gleich sein müssen, d.h., für alle x ∈ ℝ gilt f(x) = g(x).

Aufgabe 32 (4 Punkte) Es seien f, g : D → ℝ auf einer Teilmenge D ⊂ ℂ definierte Funktionen. Die Funktionen φ, ψ : D → ℝ seien definiert durch

φ(x) := max{f(x), g(x)} und
ψ(x) := min{f(x), g(x)}.

Beweisen Sie: Sind f und g stetig auf D, so auch φ und ψ. (Man bezeichnet üblicherweise φ mit max{f, g} und ψ mit min{f, g}.)

Abgabe: Dienstag, 7.12.1999, 14.00 Uhr im grünen Kasten 116 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben!

Klausurtermin: Samstag, den 12.2.2000, von 9.00 - 12.00 Uhr im AM.