Probeklausur zur Analysis I (WS 1999/2000)

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Aufgabe 1 (8 Punkte)

(a) Definieren Sie, wann eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} in ℂ konvergent ist.

(b) Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} mit (1) a_{n} = \frac{(n+1)^{2}−n^{2}}{3n} , (2) a_{n} = \frac{sin n}{n}, (3) a_{n} = ln(e + \frac{1}{n}).

Aufgabe 2 (6 Punkte) Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ_{0}} sei definiert durch

a_{0} = 1 und
a_{n} = \frac{a_{n−1}+n+1}{2} für alle n ∈ ℕ.

Beweisen Sie, dass a_{n} = \frac{1}{2^{n}} +n für alle n ∈ ℕ_{0}. Untersuchen Sie diese Folge auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe 3 (9 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Reihen ∑_{n=1}^{∞} a_{n} auf Konvergenz:

(a) a_{n} = (\frac{2}{5i})^{n} + \frac{(−1)^{n}}{n!} , (b) a_{n} = \frac{(2i)^{n}}{n!} , (c) a_{n} = (\frac{n^{2}}{2n+1})^{n}.

Aufgabe 4 (6 Punkte) Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung:

−iz^{2} + (1 + 3i)z − 3 − 4i = 0.

Aufgabe 5 (8 Punkte)

(a) Es sei a > 0 eine reelle Zahl. Untersuchen Sie die Funktion f : ℝ → ℝ mit

f(x) := \{ \begin{matrix}a^{x} , & falls x ≥ 0 \\ 1 − x^{2}, & falls x < 0. \end{matrix}

auf Stetigkeit.

(b) Berechnen Sie lim_{x→∞} f(x) für alle a > 0.

Aufgabe 6 (6 Punkte)

(a) Formulieren Sie für eine stetige Funktion f : [a, b] → ℝ den Zwischenwertsatz.

(b) Es sei f : ℝ → ℝ eine beschränkte, stetige Funktion. Zeigen Sie, dass ein x_{0} ∈ ℝ existiert mit f(x_{0}) = x_{0}.

Aufgabe 7 (6 Punkte) Es seien D ⊆ ℂ und f, g : D → ℂ beschränkte, gleichmäßig stetige Funktionen. Zeigen Sie, dass dann auch das Produkt fg : D → ℂ gleichmäßig stetig ist. Bleibt diese Aussage auch richtig, wenn f und g nicht beschränkt sind?