Übungen zur Analysis II (SoSe 2000)

Blatt 5

Aufgabe 17 (4 Punkte) Beweisen Sie für jedes x ∈ ℂ^{n}:

(a) ||x||_{∞} ≤ ||x||_{2} ≤ \sqrt{n} · ||x||_{∞} und ||x||_{∞} ≤ ||x||_{1} ≤ n · ||x||_{∞}.

(b) lim_{p→∞} ||x||_{p} = ||x||_{∞}.

Aufgabe 18 (4 Punkte) Es sei (X, d) ein metrischer Raum, und es sei d′ : X × X → ℝ, d′(x, y) := \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}. Zeigen Sie:

(a) Die Abbildung d′ ist eine Metrik auf X.

(b) Eine Teilmenge U von X ist offen bzgl. der Metrik d genau dann, wenn sie offen bzgl. der Metrik d′ ist.

Aufgabe 19 (4 Punkte) Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Beweisen oder widerlegen Sie drei der folgenden Aussagen über Teilmengen von X:

(a) Der Durchschnitt zweier offener Mengen ist offen.

(b) Der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen ist offen.

(c) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

(d) Die Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

(e) Die Vereinigung beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

(f) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Aufgabe 20 Es sei B[a, b] der ℝ-Vektorraum der beschränkten Funktionen f : [a, b] → ℝ mit der Supremumsnorm, und es sei C[a, b] der Unterraum der stetigen Funktionen. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Der normierte Raum B[a, b] ist vollständig.

(b) Die Menge C[a, b] ist abgeschlossen in B[a, b].

Abgabe: Montag, 15.5.2000, 13.00 Uhr im grünen Kasten 116 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben!