Übungen zur Analysis II (SoSe 2000)

Blatt 6

Aufgabe 21 (4 Punkte) Untersuchen Sie, ob die folgenden Folgen in ℝ^{2} konvergent sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:

(a) (((\sqrt[n]{n} − 1)^{2}, \frac{(−1)^{n}}{n}))_{n∈ℕ},

(b) ((\frac{sin(n)}{n}, exp(\frac{1}{n})))_{n∈ℕ}.

Aufgabe 22 (4 Punkte) Die Funktionen f, g : ℝ^{2} → ℝ seien definiert durch

f(x, y) = \{ \begin{matrix}0 , & falls (x, y) = (0, 0), \\ \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} , & falls (x, y) ≠ (0, 0) \end{matrix} und g(x, y) = \{ \begin{matrix}0 , & falls (x, y) = (0, 0), \\ \frac{xy}{|x|+|y|}, & falls (x, y) ≠ (0, 0). \end{matrix}

In welchen Punkten sind f und g stetig? Skizzieren Sie ferner die Funktionen mit Hilfe von MuPAD.

Aufgabe 23 (4 Punkte) Es seien (X, d) und (Y, d′) metrische Räume.

(a) Zeigen Sie, dass auf dem kartesischen Produkt X × Y durch

d̃((x, y), (x′, y′)) = max(d(x, x′), d′(y, y′))

eine Metrik definiert wird.

(b) Zeigen Sie, dass eine Folge ((x_{n}, y_{n}))_{n∈ℕ} in (X × Y, d̃) genau dann gegen ein (a, b) konvergiert, wenn (x_{n})_{n∈ℕ} in (X, d) gegen a und (y_{n})_{n∈ℕ} in (Y, d′) gegen b konvergiert.

Aufgabe 24 (4 Punkte) Es seien (X, d), (Y, d′) und (X × Y, d̃) metrische Räume wie in Aufgabe 23, und es sei f : X → Y eine stetige Abbildung. Beweisen Sie, dass der Graph Γ_{f} abgeschlossen ist in (X × Y, d̃).

Abgabe: Montag, 22.5.2000, 13.00 Uhr im grünen Kasten 116 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben!