Übungen zur Angewandten Analysis (WiSe 2000)

Blatt 10

Aufgabe 37 (4 Punkte) Es sei X := {x ∈ ℝ^{n} | ∥x∥ < 1}. Für welche α > 0 existiert das Integral

∫_{X} \frac{1}{(1 − ∥x∥^{2})^{α}} dx?

Berechnen Sie gegebenenfalls den Wert des Integrals.

Aufgabe 38 (4 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Aus f, g ∈ L^{1}(ℝ^{n}) folgt f · g ∈ L^{1}(ℝ^{n}).

(b) Aus p ≥ 1 und f ∈ L^{1}(ℝ^{n}) folgt |f|^{p} ∈ L^{1}(ℝ^{n}).

Aufgabe 39 (4 Punkte) Es sei J : ℝ^{2} → ℝ^{2} die durch J(u, v) := (u(1 − v), uv) definierte Jacobi-Abbildung.

(a) Zeigen Sie, dass J die Menge ℝ_{>0}×]0, 1[ diffeomorph auf ℝ_{>0}^{2} abbildet, und berechnen Sie det J′(u, v).

(b) Zeigen Sie, dass für p, q > 0 gilt: ∫_{0}^{1}(1 − t)^{p−1}t^{q−1}dt = \frac{Γ(p)Γ(q)}{Γ(p+q)}. (Hinweis und Kommentar: Berechnen Sie das Integral ∫_{ℝ_{>0}^{2}} x^{p−1}y^{q−1}e^{−x−y}d(x, y) einerseits mit Hilfe eines Tensorprodukts, andererseits mit Hilfe der Jacobi-Abbildung. Die Funktion B : ℝ_{>0}^{2} → ℝ, B(p, q) = ∫_{0}^{1}(1 − t)^{p−1}t^{q−1}dt = \frac{Γ(p)Γ(q)}{Γ(p+q)}, wird Beta-Funktion genannt. Das Resultat verallgemeinert Überlegungen aus Ü 17.)

Abgabe: Donnerstag, 11.1.2001, 7.25 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!

Frohe Weihnachten und ein gutes Neues Jahr!