Übungen zur Angewandten Analysis (WiSe 2000)

Blatt 12

Aufgabe 44 (4 Punkte) Es seien r :]a, b[→ ℝ eine stetig differenzierbare, positive Funktion,

C := {(z, r(z)) ∈ ℝ^{2} | z ∈]a, b[}

und

F := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | 0 ≤ x^{2} + y^{2} = r^{2}(z), z ∈]a, b[}

die durch Rotation von C um die z-Achse entstandene Fläche.

(a) Zeigen Sie: vol_{2}(F) = 2π ∫_{a}^{b} r(z)\sqrt{1 + [r′(z)]^{2}}dz.

(b) Es sei (c, d) der Schwerpunkt von C ⊂ ℝ^{2}, wobei die Dichte von F konstant 1 sei. Beweisen Sie die sogenannte zweite Guldinsche Regel: vol_{2}(F) = 2πc · vol_{1}(C). (Für die erste Guldinsche Regel vergleiche man Ü 26.)

Aufgabe 45 (4 Punkte) Berechnen Sie:

(a) Die Oberfläche der Paraboloidkappe X = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | z = 1 − x^{2} − y^{2}, z > 0}.

(b) Die Oberfläche des Volltorus aus Ü 27.

Aufgabe 46 (4 Punkte) Für r > 0 sei σ : ℝ^{n} → ℝ^{n} die durch σ(x) := rx definierte Streckung. Beweisen Sie:

(a) Ist X eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{n}, so ist auch σ(X) eine ddimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{n}.

(b) Ist die Teilmenge M ⊂ X d-messbar, so ist auch σ(M) d-messbar, und es gilt

vol_{d} σ(M) = r^{d} · vol_{d}M.

Aufgabe 47 (4 Punkte) Es seien a, b, c positive reelle Zahlen. Berechnen Sie die Oberfläche des Ellipsoids

E := \{(x, y, x) ∈ ℝ^{3} | \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\} .

Abgabe: Donnerstag, 25.1.2001, 7.25 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!