Übungen zur Angewandten Analysis (WiSe 2000)

Blatt 13

Aufgabe 48 (4 Punkte) Es sei S_{r}^{2} ⊂ ℝ^{3} die Sphäre mit Mittelpunkt 0, Radius r > 0 und konstanter Dichte ρ. Man berechne für den Punkt p = (0, 0, a) ∈ ℝ^{3}

u(p) = ∫_{S_{r}^{2}} \frac{ρ}{∥x − p∥}dS.

Aufgabe 49 (4 Punkte) Beweisen Sie Lemma 10.11 der Vorlesung.

Aufgabe 50 (4 Punkte) (a) Zeigen Sie, dass der Rand des kompakten Quaders Q = [a, b] × [c, d] ⊂ ℝ^{2} eine Quasi-Mannigfaltigkeit ist.

(b) Es sei C der Rand des Quaders ohne die Eckpunkte. Berechnen Sie für jeden Punkt x ∈ C den äußeren Normaleneinheitsvektor ν(x).

(c) Bestimmen Sie ∫_{∂Q}(id_{ℝ^{2}} | ν)dS.

Aufgabe 51 (4 Punkte) Es sei K ⊂ ℝ^{2} eine kompakte Menge mit glattem Rand C. Es sei γ = (γ_{1}, γ_{2}) :]a, b[→ ℝ^{2} eine Einbettung, so dass C = γ(]a, b[) ∪ {p} für einen Punkt p ∈ ℝ^{2}.

(a) Zeigen Sie, dass es für jeden Punkt x ∈ C \ {p} genau zwei Normaleneinheitsvektoren von C in x gibt, und berechnen Sie diese.

(b) Es sei ν : C → ℝ^{2} das äußere Normaleneinheitsfeld von K, wobei ν(x) = \frac{1}{∥γ′(t)∥}(−γ′_{2}(t), γ′_{1}(t)) für x = γ(t) sei. Zeigen Sie, dass für jedes auf einer offenen Umgebung von K stetig differenzierbare Vektorfeld f = (f_{1}, f_{2}) gilt:

∫_{C}(f | ν)dS = ∫_{γ}(f_{2}, −f_{1}) · d(x, y).

Abgabe: Donnerstag, 1.2.2001, 7.25 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!