Übungen zur Angewandten Analysis (WiSe 2000)

Blatt 3

Aufgabe 9 (4 Punkte) Es sei f : U → ℝ^{n} ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Zeigen Sie, dass f in U wegunabhängig integrierbar ist genau dann, wenn für jeden geschlosssenen, stückweise stetig differenzierbaren Weg γ in U gilt ∫_{γ} f · dx = 0.

Aufgabe 10 (4 Punkte) Zeigen Sie, dass das Vektorfeld f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, f(x, y) = (2xy cos(x^{2}y) + 2xy + \frac{1}{1+x^{2}} , x^{2} cos(x^{2}y) + x^{2}) ein Gradientenfeld ist, und bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.

Aufgabe 11 (4 Punkte) Es sei r :]0, ∞[→ ℝ eine stetig differenzierbare Funktion, und es sei f : ℝ^{n} \ {0} → ℝ^{n} das durch f(x) = r(∥x∥) · x definierte Vektorfeld.

(a) Geben Sie eine Stammfunktion von f an.

(b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f explizit, falls r(t) = t^{m}, m ∈ ℤ.

Aufgabe 12 (4 Punkte) Es sei f : [−1, 1] × [−1, 1] → ℝ die durch

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}, & falls x^{2} + y^{2} ≤ 1 \\ 0, & sonst \end{matrix}

definierte Funktion. Berechnen Sie

∫_{−1}^{1} ∫_{−1}^{1} f(x, y) dxdy.

Abgabe: Donnerstag, 9.11.2000, 7.25 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!