Übungen zur Geometrie (SoSe 2002)

Blatt 6

Aufgabe 16 (4 Punkte) Bestimmen Sie die Torsion der Schraubenlinie mit der Parametrisierung γ : ℝ → ℝ^{3},

γ(t) = (r cos t, r sin t, ht) (r, h > 0).

Ist das Ergebnis plausibel?

Aufgabe 17 (4 Punkte) Es sei C ⊂ ℝ^{2} die Vereinigung der Bilder der Wege γ und δ, wobei γ, δ : ℝ → ℝ^{2},

γ(t) = (cosh t, sinh t) und δ(t) = (− cosh t, sinh t).

Begründen Sie, dass C eine glatte Kurve ist. Skizzieren Sie C, und bestimmen Sie eine Gleichung für C.

Aufgabe 18 (4 Punkte) Es sei C ⊂ ℝ^{2} eine Kurve mit der Gleichung f = 0, wobei f : ℝ^{2} → ℝ eine beliebig oft differenzierbare Funktion ist, deren Ableitung nirgendwo verschwindet. Zeigen Sie, dass die Tangente an C im Punkt (x_{0}, y_{0}) ∈ C die Gleichung hat

f_{x}(x_{0}, y_{0}) · (x − x_{0}) + f_{y}(x_{0}, y_{0}) · (y − y_{0}) = 0.

(f_{x} und f_{y} bezeichnen die entsprechenden partiellen Ableitungen.)

Abgabe: Montag, 27.5.2002, 14.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!