Übungen zur Algebraischen Geometrie III (01/02)

Blatt 1

Aufgabe 1 (4 Punkte) Welche der folgenden Ideale sind stabil (x_{0}, x_{1})^{3} (x_{0}^{2}, x_{0}x_{1}^{4}, x_{0}x_{2}^{4}) (x_{0}^{2}, x_{0}x_{1}, x_{0}x_{2})?

Aufgabe 2 (4 Punkte) Es sei I ⊂ R := K[x_{0}, …, x_{n}] ein stabiles Ideal. Zeigen Sie, dass jedes assoziierte Primideal 𝔭 ⊂ R von I die Form hat 𝔭 = (x_{0}, x_{1}, …, x_{j}) für ein j ∈ {0, …, n}. (I hat also genau ein minimales Primideal.)

Aufgabe 3 (4 Punkte) Es sei I ⊂ R := K[x_{0}, …, x_{n}] ein stabiles Ideal. Zeigen Sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

(a) Es ist x_{c}^{m} ∈ I für ein m ∈ ℕ und ein c ∈ {0, …, n}, aber es ist x_{j}^{m} ∉ I fúr alle j > c und alle m ∈ ℕ.

(b) I hat die Höhe c + 1.

(c) (x_{0}, …, x_{c}) ist ein minimales assoziiertes Primideal von I.

Abgabe: Donnerstag, 25.10.2001, 9.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!