Übungen zur Algebraischen Geometrie III (WiSe 01/02)

Blatt 10

Aufgabe 28 (4 Punkte) Es sei f_{1}, …, f_{4} ⊂ R = K[x_{0}, …, x_{3}] eine reguläre Sequenz. Zeigen Sie, dass für I = (f_{1}, f_{2}) ∩ (f_{3}, f_{4}) gilt

H_{𝔪}^{1}(R/I) ≅ R/(f_{1}, …, f_{4})R.

(Tip: Mayer-Vietoris-Sequenz)

Aufgabe 29 (4 Punkte) Es sei

0 → E → F_{k} → … → F_{1} → M → 0

eine exakte Sequenz graduierter, endlich erzeugter Moduln über R = K[x_{0}, …, x_{n}], wobei F_{1}, …, F_{k} freie R-Moduln seien. Beweisen Sie, dass dann gilt

H_{𝔪}^{i}(E) ≅ H_{𝔪}^{i−k}(M) für alle i < dim R.

Aufgabe 30 (4 Punkte) Es sei M ein graduierter, endlich erzeugter Modul über R = K[x_{0}, …, x_{n}]. Dann ist der Regularitätsindex von M die Zahl

r(M) = min{t ∈ ℤ | h_{M}(j) = p_{M}(j) für alle j ≥ t}.

Zeigen Sie:

(a) Ist f ∈ R M-regulär vom Grad d, so ist r(M/fM) = r(M) + d.

(b) Ist f_{1}, …, f_{h} ∈ R eine reguläre Sequenz homogener Elemente, so gilt für den vollständigen Durchschnitt 𝔠 = (f_{1}, …, f_{h})

r(R/𝔠) = deg f_{1} + … + deg f_{h} − n,

d.h., die obige Definition des Regularitätsindex stimmt mit Definition 12.1 der Vorlesung überein.

Abgabe: Donnerstag, 10.1.2002, 9.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!