Übungen zur Algebraischen Geometrie III (WiSe 01/02)

Blatt 8

Aufgabe 22 (3 Punkte) Zeigen Sie für Ideale I, J des Ringes R:

Hom_{R}(R/I, R/J) ≅ (J : I)/J.

Aufgabe 23 (3 Punkte) Es sei φ : F → G ein minimaler Homomorphismus graduierter Moduln über der Standard-K-Algebra A. Beweisen Sie, dass Hom_{A}(φ, K) die Nullabbildung ist.

Aufgabe 24 (6 Punkte) Es sei R = K[x_{0}, …, x_{n}] der Polynomring.

(a) Zeigen Sie, dass für die projektive Dimension des endlich erzeugten, graduierten R-Moduls M gilt:

pd_{R}(M) = max{i ∈ ℤ | Ext_{R}^{i}(M, R) ≠ 0}.

(b) Es sei

0 → M′ → M → M′′ → 0

eine exakte Sequenz endlich erzeugter, graduierter R-Moduln. Zeigen Sie

pd_{R}(M) ≤ max{pd_{R}(M′), pd_{R}(M′′)},

wobei Gleichheit gilt, falls pd_{R}(M′) ≥ pd_{R}(M′′) oder pd_{R}(M′′) ≥ pd_{R}(M′) + 2.

Abgabe: Donnerstag, 13.12.2001, 9.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!