Übungen zur Linearen Algebra I

Blatt 10

Aufgabe 37: (4 Punkte): Welche der folgenden Mengen U ist ein Unterraum des ℝ-Vektorraums ℝ^{1,3} ?

(a) U = {(a, b, c) ∈ ℝ^{1,3} | a + b + c = 1}

(b) U = {(a, b, c) ∈ ℝ^{1,3} | a + b + c = 0}

(c) U = {(a, b, c) ∈ ℝ^{1,3} | a ≥ 0}

(d) U = {(a, b, c) ∈ ℝ^{1,3} | a, b, c ∈ ℚ}

Aufgabe 38 (4 Punkte): Es seien U_{1}, U_{2} Unterräume des Vektorraums V. Man beweise oder widerlege:

(a) U_{1} ∩ U_{2} ist ein Unterraum von V.

(b) U_{1} ∪ U_{2} ist ein Unterraum von V.

Aufgabe 39 (4 Punkte): Man untersuche, ob

E = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}5 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} )\}

ein Erzeugendensystem von ℝ^{3} ist. Aufgabe 40 (4 Punkte): Es sei

A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 8 \\ 2 & 4 & 9 & 25 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3,4} .

Wir setzen φ : ℝ^{4} ⟶ ℝ^{3}, mit v ⟼ Av.

(a) Man bestimme jeweils ein Erzeugendensystem von ker φ und im φ.

(b) Man entscheide und begründe, ob φ injektiv oder surjektiv ist.

Abgabe: Dienstag, 5.1.1999, 11:00 Uhr, grüner Briefkasten 112 in Ebene D1 (Ecke J,

D-Gebäude).

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben !

Wir wünschen ein frohes Weihnachtsfest und ein erfolgreiches Neues Jahr.