Übungen zur Linearen Algebra I

Blatt 14

Aufgabe 53 (4 Punkte): Wir identifizieren die Vektoren \binom{x}{y} ∈ ℝ^{2} mit dem entsprechenden Punkt der kartesischen Ebene, der diese Koordinaten hat. Es sei δ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} die Drehung um den Punkt \binom{0}{0} mit dem Winkel π/6 in mathematisch positiver Richtung (d.h. entgegen dem Uhrzeigersinn). Man beweise, daß δ eine lineare Abbildung ist, und berechne die Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis von ℝ^{2}. Ist δ ein Isomorphismus ? (Hinweis: Jeder Punkt auf der Peripherie des Einheitskreises hat die Koordinaten \binom{cos α}{sin α} für ein α ∈ ℝ.)

Aufgabe 54 (4 Punkte): Es seien

B_{s} := ( \begin{matrix}1 & s \\ s + 1 & 1 \end{matrix} ) und C := ( \begin{matrix}3 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2,2}.

Wir setzen

A_{s} := ( \begin{matrix}B_{s} & 0 & 0 & C \\ 0 & E_{605} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & E_{391} & 0 \\ C^{t} & 0 & 0 & E_{2} \end{matrix} ) ∈ ℚ^{1000,1000}.

Für welche s ∈ ℚ ist φ_{A_{s}} ein Isomorphismus ? (Hinweis: Man benutze (mit Augenmaß) MuPAD!)

Aufgabe 55 (4 Punkte): Es sei φ : V ⟶ W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen endlicher Dimension n bzw. m. Es seien M_{φ}^{B,C} ∈ K^{m,n} die Koordinatenmatrix von φ bezüglich den Basen B und C von V bzw. W und P ∈ K^{m,m} und Q ∈ K^{n,n} invertierbare Matrizen. Man zeige, daß es dann Basen B′ und C′ von V bzw. W gibt, so daß

P M_{φ}^{B,C}Q

die Koordinatenmatrix von φ bezüglich B′ und C′ ist.

Aufgabe 56 (4 Punkte): Es seien f_{1}, …, f_{n} ∈ Abb(ℝ, ℝ), und es sei f_{1}(2) ≠ 0. Es sei ferner U := ⟨f_{1}, …, f_{n}⟩. Man zeige, daß die Abbildung

φ : U ⟶ ℝ, f ⟼ f(2)

linear und surjektiv ist, und bestimme dim(ker φ). Wann ist φ injektiv ?

Abgabe: Dienstag, 2.2.1999, 11:00 Uhr, grüner Briefkasten 112 in Ebene D1 (Ecke J,

D-Gebäude).

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben !

Klausur: Die Klausur findet am Samstag, 13.2.1999, von 9:00 bis 12:00 Uhr in den Hörsälen C1 und C2 statt. Außer Schreibutensilien sind ein handbeschriebenes A4-Blatt und nichtprogrammierbare Taschenrechner als Hilfsmittel gestattet. Bitte bringen Sie auch Ihren Studenten- und Personalausweis mit.