Übungen zur Linearen Algebra I

Blatt 3

Aufgabe 9: (4 Punkte): Es seien K ein Körper und T ∈ K^{m,n} eine Matrix in Treppennormalform mit r charakteristischen Spaltenindizes. Man zeige: Es gibt eine invertierbare Matrix S ∈ K^{n,n} mit

T S = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Aufgabe 10 (4 Punkte): Es sei A ∈ ℚ^{5,6} mit

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ −1 & 2 & 1 & 1 & 1 & −2 \\ 0 & 2 & 4 & 2 & 1 & −1 \\ 1 & 2 & 7 & 4 & 7 & −5 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & −1 & 2 \end{matrix} ) .

Man berechne die Treppennormalform T von A und eine Matrix S ∈ ℚ^{5,5} mit T = SA.

Aufgabe 11 (4 Punkte): Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins.

(a) Es sei A ∈ R^{n,n}. Man zeige: A ist genau dann invertierbar, wenn A^{t} es ist.

(b) Eine Matrix A ∈ R^{n,n} heißt symmetrisch, wenn gilt A^{t} = A. Es sei B ∈ R^{m,n} eine beliebige Matrix. Ist dann BB^{t} eine symmetrische Matrix ? (Die Antwort ist natürlich zu begründen.)

Aufgabe 12 (4 Punkte): Es sei R ein Ring mit Eins. Eine Matrix P ∈ R^{n,n} heißt Permutationsmatrix, wenn in jeder Zeile und in jeder Spalte von P genau eine Eins auftritt und sonst nur Nullen auftreten. Man zeige:

(a) Jede Permutationsmatrix ist ein Produkt von speziellen Permutationsmatrizen P_{ij} ∈ R^{n,n}.

(b) Jede Permutationsmatrix ist invertierbar.

Abgabe: Dienstag, 3.11.1998, 11:00 Uhr, grüner Briefkasten 112 in Ebene D1 (Ecke J,

D-Gebäude).

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben !