Übungen zur Linearen Algebra II

Blatt 11

Aufgabe 39 (Vektor- oder äußeres Produkt) (4 Punkte): Es sei ℝ^{3} der kanonische, 3-dimensionale,

euklidische Vektorraum mit der kanonischen Basis \{e_{1}, e_{2}, e_{3}\}. Für v = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ), w = ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix} ) ∈

ℝ^{3} wird gesetzt

v ∧ w := ( \begin{matrix}v_{2}w_{3} − v_{3}w_{2} \\ v_{3}w_{1} − v_{1}w_{3} \\ v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1} \end{matrix} ) .

(Merkregel: v ∧ w = det ( \begin{matrix}v_{2} & w_{2} \\ v_{3} & w_{3} \end{matrix} ) · e_{1} − det ( \begin{matrix}v_{1} & w_{1} \\ v_{3} & w_{3} \end{matrix} ) · e_{2} + det ( \begin{matrix}v_{1} & w_{1} \\ v_{2} & w_{2} \end{matrix} ) · e_{3}, was – rein

formal – wie die Entwicklung von det ( \begin{matrix}e_{1} & v_{1} & w_{1} \\ e_{2} & v_{2} & w_{2} \\ e_{3} & v_{3} & w_{3} \end{matrix} ) nach der ersten Spalte aussieht.) Man

zeige:

(a) v ∧ w = 0 dann und nur dann, wenn v und w linear abhängig sind.

(b) Sind v und w linear unabhängig, so gilt ⟨v ∧ w⟩ = ⟨v, w⟩^{⊥}.

(c) ∥v ∧ w∥^{2} = ∥v∥^{2}∥w∥^{2} − (v | w)^{2}. Aufgabe 40 (Hessesche Normalform) (4 Punkte): Es sei H eine Hyperebene im kanonischen, euklidischen Vektorraum ℝ^{n}, und es sei q ∈ H. Man zeige:

(a) Es gibt einen Vektor v ∈ ℝ^{n}, so daß H = {p ∈ ℝ^{n} : (v | p − q) = 0} ist.

(b) Hat in (a) der Vektor v die Norm 1, so gilt für jeden Punkt u ∈ ℝ^{n}, daß |(v | u − q)| der Abstand des Punktes u von der Hyperebene H ist.

Aufgabe 41 (4 Punkte): Es seien die Geraden L_{1} := ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) + ⟨( \begin{matrix}3 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} )⟩ ⊆ ℝ^{3} und L_{2} :=

( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + ⟨( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} )⟩ ⊆ ℝ^{3} gegeben. Man bestimme den Abstand d der Geraden L_{1}, L_{2} und die

Punkte p_{1} ∈ L_{1} und p_{2} ∈ L_{2} mit d(p_{1}, p_{2}) = d. Aufgabe 42 (4 Punkte): Es sei A ∈ ℝ^{n,n} mit den reellen Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{n}. Es gelte |λ_{1}| > |λ_{j}| für 1 < j ≤ n. Für jedes j = 1, …, n sei x_{j} ∈ ℝ^{n} ein Eigenvektor zum Eigenwert λ_{j} der Norm 1. Es sei ferner z_{0} := ∑_{j=1}^{n} μ_{j}x_{j} für gewisse μ_{j} ∈ ℝ, wobei μ_{1} ≠ 0 ist.

(a) Man zeige: Für jedes k ∈ ℕ gilt

A^{k}z_{0} = ∑_{j=1}^{n} λ_{j}^{k}μ_{j}x_{j} .

(b) Man zeige:

lim_{k→∞} \frac{∑_{j=1}^{n} λ_{j}^{2k+1}μ_{j}^{2}}{∑_{j+1}^{n} λ_{j}^{2k}μ_{j}^{2}} = λ_{1} .

(c) Für k ≥ 0 wird z_{k+1} := A^{k+1}z_{0} und α_{k+1} := \frac{z_{k+1}^{t}·z_{k}}{z_{k}^{t}·z_{k}} gesetzt. Man zeige: Ist \{x_{1}, …, x_{n}\} ein Orthonormalsystem, dann gilt lim_{k→∞} α_{k} = λ_{1}.

Abgabe: Dienstag, 29.6.1999, 11:00 Uhr, grüner Briefkasten 112 in Ebene D1 (Ecke J,

D-Gebäude).

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