Übungen zur Linearen Algebra II

Blatt 2

Definition: Es sei φ : V → V ein Endomorphismus des Vektorraums V. Ein Unterraum U von V heißt \underline{φ-invariant}, wenn gilt φ(U) ⊂ U.

Aufgabe 5 (4 Punkte): Es sei φ : V → V ein Endomorphismus des endlich-dimensionalen K-Vektorraums V, und es sei U ein φ-invarianter Unterraum von V der Dimension m. Man beweise,

daß es eine Basis B von φ gibt, so daß M_{φ}^{B} = ( \begin{matrix}A & Y \\ 0 & C \end{matrix} ), wobei A ∈ K^{m,m}.

Aufgabe 6 (4 Punkte): Es sei φ : V → V ein Endomorphismus des endlich-dimensionalen K-Vektorraums V. Es sei V = U ⊕ W, wobei U und W φ-invariante Unterräume von V sind und

dim U = m, dim W = n. Man zeige, daß es eine Basis B von V gibt, so daß M_{φ}^{B} = ( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & C \end{matrix} ),

wobei A ∈ K^{m,m}, C ∈ K^{n,n}.

Aufgabe 7 (4 Punkte): Es sei φ : V → V ein Endomorphismus des K-Vektorraums V. Es sei g ∈ K[X] ein Polynom. Man beweise, daß ker g(φ) ein φ-invarianter Unterraum von V ist.

Aufgabe 8 (4 Punkte): Es seien f = X^{6} + X^{5} + X^{4} + X^{3} und g = X^{5} + X^{2} − X + 1 Polynome in ℚ[X]. Man berechne einen größten gemeinsamen Teiler h von f und g und bestimme Polynome p, q ∈ ℚ[X], so daß gilt h = pf + qg.

Abgabe: Dienstag, 20.4.1999, 11:00 Uhr, grüner Briefkasten 112 in Ebene D1 (Ecke J,

D-Gebäude).

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