Übungen zur Linearen Algebra II

Blatt 6

Aufgabe 21 (4 Punkte): Es sei

A := ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 2 & −1 \\ 1 & −1 & 2 & −9 & 4 \\ 1 & −1 & 1 & −9 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & −2 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{5,5} .

Man bestimme eine Matrix P ∈ ℚ^{5,5}, so daß für eine Partition p von 5 gilt P^{−1}AP = N(p).

Aufgabe 22 (4 Punkte): Es sei A ∈ K^{n,n}\{0} eine nilpotente Matrix. Man zeige:

(a) sp(A) = 0.

(b) det(E_{n} + A) = det(E_{n} − A) = 1.

(c) E_{n} + A ist nicht diagonalisierbar.

Aufgabe 23 (4 Punkte): Es sei

A := ( \begin{matrix}1 & −5 & −6 & 1 & −2 \\ −1 & 0 & −3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 6 & −3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & −4 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{5,5} .

Man bestimme zu jedem Eigenwert von A eine Basis des Eigenraums und ergänze diese zu einer Basis des entsprechenden Hauptraums.

Aufgabe 24 (4 Punkte): Es seien f, g ∈ K[X] teilerfremde, irreduzible Polynome und k, l ∈ ℕ. Ferner sei φ : V ⟶ V ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums V mit χ_{φ} = f^{k} ·g^{l}. Wir setzen U := ker f^{k}(φ) und W := ker g^{l}(φ). Man zeige, daß gilt: dim U = k·deg f und dim W = l · deg g.

Abgabe: Dienstag, 18.5.1999, 11:00 Uhr, grüner Briefkasten 112 in Ebene D1 (Ecke J,

D-Gebäude).

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben !