Übungen zur Linearen Algebra II

Blatt 7

Aufgabe 25 (4 Punkte): Es seien

A := ( \begin{matrix}8 & −1 & −5 \\ −2 & 3 & 1 \\ 4 & −1 & −1 \end{matrix} ) und B := ( \begin{matrix}3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ −2 & −1 & 0 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3,3} .

Man bestimme jeweils die Jordansche Normalform von A und B.

Aufgabe 26 (4 Punkte): Es sei

A := ( \begin{matrix}1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{4,4} .

Man berechne die Jordansche Normalform J von A und bestimme eine invertierbare Matrix P ∈ ℚ^{4,4} mit J = P^{−1}AP.

Aufgabe 27 (4 Punkte): Es sei A ∈ ℂ^{n,n}. Man zeige, daß A und A^{t} ähnlich sind.

Aufgabe 28 (4 Punkte): Es seien A, B ∈ K^{n,n} mit AB = BA, und es sei A nilpotent. Man zeige, daß det(A + B) = det B ist. (Hinweis: Falls B invertierbar ist, benutze man Aufgabe 22, andernfalls zeige man, daß A und B einen gemeinsamen Eigenvektor haben.)

Abgabe: Dienstag, 1.6.1999, 11:00 Uhr, grüner Briefkasten 112 in Ebene D1 (Ecke J,

D-Gebäude).

Wichtig: Bitte Name, Vorname, Matrikelnummer und Übungsgruppe angeben !