SKRIPT ZUR VORLESUNG ”LINEARE ALGEBRA II“ (PADERBORN, SOMMERSEMESTER 1999)

UWE NAGEL

V. Euklidische und unitäre Geometrie

1. Euklidische Vektorräume section- Euklid- VR

2. Orthogonale Abbildungen

section-Orthogonale-Abb 3. Unitäre Vektorräume und Abbildungen

section- Unitaere- VR- Abb

4. Adjungierte Endomorphismen

section-Adjungierte-Endo 5. Normale und selbstadjungierte Endomorphismen

6. Lineare Geometrie des ℝ^{n}

7. Bilinearformen

8. Quadriken im ℝ^{n}

section- Quadriken

In diesem Abschnitt betrachten wir den ℝ^{n} immer als kanonischen euklidischen Vektorraum.

Definition 8.1. (i) Eine quadratisches Gleichung in den Unbestimmten x_{1}, x_{2}, …, x_{n} über den reellen Zahlen ist ein Ausdruck der Form

∑_{1≤i≤j≤n} α_{ij} x_{i}x_{j} + ∑_{1≤i≤n} β_{i} x_{i} + γ = 0

mit α_{ij}, β_{i}, γ ∈ ℝ, wobei nicht alle α_{ij} gleich Null sind.

(ii) Eine Quadrik im ℝ^{n} ist eine Teilmenge Q des ℝ^{n}, die durch eine quadratische Gleichung definiert ist, d.h., es gilt

Q = {( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ∈ ℝ^{n} | ∑_{1≤i≤j≤n} α_{ij} x_{i}x_{j} + ∑_{1≤i≤n} β_{i} x_{i} + γ = 0} .

Beispiel 8.2. (i) Q = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ∈ ℝ^{2} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 9 = 0\} beschreibt die Kreislinie

um den Nullpunkt mit Radius 3, denn es gilt ∥ ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ∥^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}.

(ii) Q = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} − 9 = 0\} beschreibt die Oberfläche der Ku-

gel im ℝ^{3} mit dem Radius 3 und dem Nullpunkt als Mittelpunkt, denn es gilt

∥ ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) ∥^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}.

(iii) Q = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ∈ ℝ^{2} | x_{1}^{2} − x_{2} = 0\} beschreibt eine Parabel in der Ebene.

(iv) Q = \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3} | x_{1}^{2} − x_{2} = 0\} beschreibt einen Parabelzylinder im ℝ^{3}.

(Skizze)

Bemerkung 8.3. Jede Quadrik Q im ℝ^{n} kann durch eine symmetrische Matrix 0 ≠ A ∈ ℝ^{n,n}, einen Vektor b ∈ ℝ^{n} und ein γ ∈ ℝ wie folgt beschrieben werden

Q = {x ∈ ℝ^{n} | x^{t} · A · x + b^{t} · x + γ = 0} .

Dies folgt aus

∑_{1≤i≤j≤n} α_{ij} x_{i}x_{j} + ∑_{1≤i≤n} β_{i} x_{i} + γ = ∑_{1≤i≤n} α_{ii} x_{i}^{2} + ∑_{1≤i<j≤n} α_{ij} x_{i}x_{j} + ∑_{1≤i≤n} β_{i} x_{i} + γ
= x^{t} · A · x + b^{t} · x + γ,

wobei A = (α_{ij}′) ∈ ℝ^{n,n} mit α_{ij}′ = \{ \begin{matrix}α_{ii}, & falls i = j \\ \frac{α_{ij}}{2} , & falls i < j \\ \frac{α_{ji}}{2} , & falls i > j \end{matrix} und b = ( β_{1} ; ⋮ ; β_{n} ) ∈ ℝ^{n}.

Definition 8.4. Zwei Teilmengen M, N des ℝ^{n} heißen kongruent, wenn es eine Kongruenzabbildung φ ∈ End(ℝ^{n}) gibt, so daß gilt φ(M) = N.

Satz 8.5. (Klassifikation der Quadriken bis auf Kongruenz)

Es sei Q = {x ∈ ℝ^{n} | x^{t} · A · x + b^{t} · x + γ = 0} eine Quadrik im ℝ^{n}. Dann gibt es eine ganze Zahl k mit 0 ≤ k ≤ r := Rg A, so daß Q kongruent ist zu einer Quadrik, die durch eine der folgenden Gleichungen definiert ist:

(a) ∑_{i=1}^{k} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}} − ∑_{i=k+1}^{r} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}} = 0 mit k ≥ r − k;

(b) ∑_{i=1}^{k} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}} − ∑_{i=k+1}^{r} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}} = 1;

(c) ∑_{i=1}^{k} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}} − ∑_{i=k+1}^{r} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}} = x_{r+1} mit r > k, k ≥ r − k.

Zusatz: Es sei Ã = ( \begin{matrix}γ & b^{t} \\ b & A \end{matrix} ) ∈ ℝ^{n+1,n+1}. Dann gilt:

(a) liegt vor, falls Rg Ã = Rg A.

(b) liegt vor, falls Rg Ã = Rg A + 1.

(c) liegt vor, falls Rg Ã = Rg A + 2.

Quadriken, die durch eine der Gleichungen in (a) - (c) definiert sind, nennt man Quadriken in Hauptachsenlage. Die Kongruenzabbildung, die eine Quadrik in Hauptachsenlage überführt, wird Hauptachsentransformation genannt.

Bemerkung 8.6. Quadriken im ℝ^{2}.

Die Quadriken im ℝ^{2} sind typischerweise Kurven. Aus der Klassifikation ergeben sich die folgenden Fälle, wobei wir a_{1}, a_{2} > 0 annehmen dürfen. r = 2

k = 2 (a) \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 0 beschreibt den (doppelt zu zählenden) Nullpunkt.

(b) \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 1 beschreibt eine Ellipse (vergleiche unten).

k = 1 (a) \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} − \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = (\frac{x_{1}}{a_{1}} + \frac{x_{2}}{a_{2}} ) (\frac{x_{1}}{a_{1}} − \frac{x_{2}}{a_{2}} ) = 0 beschreibt zwei Geraden, die sich im

Nullpunkt schneiden.

(b) \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} − \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 1 beschreibt eine Hyperbel (vergleiche unten).

k = 0 (b) −\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} − \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 1 beschreibt die leere Menge.

r = 1 k = 1 (a) \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} = 0 beschreibt eine (doppelt zu zählende) Gerade.

(b) \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} = 1 beschreibt zwei parallele Geraden.
(c) \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} = x_{2} beschreibt eine Parabel (vergleiche unten).

k = 0 (b) −\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} = 1 beschreibt die leere Menge.

Alle diese Quadriken nennt man Kegelschnitte, weil sie (mit Ausnahme der leeren Menge) als Schnitt eines Kegels im ℝ^{3} mit einer Ebene entstehen. Die Kegelschnitte, die nicht Vereinigungen linearer Varietäten sind, sind die Ellipse, die Hyperbel und die Parabel. Wir wollen diese kurz diskutieren.

Ellipse

Gleichung in Hauptachsenlage: \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 1 Brennpunkte sind F_{1} = ( \begin{matrix}e \\ 0 \end{matrix} ) und F_{2} = ( \begin{matrix}−e \\ 0 \end{matrix} ) mit e := \sqrt{a_{1}^{2} − a_{2}^{2}}, falls a_{1} ≥ a_{2} ist.

Geometrische Beschreibung: Eine Ellipse ist die Menge der Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten, den Brennpunkten, konstant ist.

Fadenkonstruktion (Gärtnerkonstruktion): Sind die Brennpunkte durch zwei Reißzwecken oder Pfähle markiert, an denen die Enden eines Fadens der Länge 2a_{1} > 2e befestigt sind, so bewegt sich die Spitze eines Bleistifts oder dritten Pfahls, der den Faden spannt, auf einem Ellipsenbogen.

Auftreten in der Umwelt: Die Planeten bewegen sich (näherungsweise) auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Hyperbel

Gleichung in Hauptachsenlage: \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} − \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = 1 Brennpunkte sind F_{1} = ( \begin{matrix}e \\ 0 \end{matrix} ) und F_{2} = ( \begin{matrix}−e \\ 0 \end{matrix} ) mit e := \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}.

Geometrische Beschreibung: Eine Hyperbel ist die Menge der Punkte, für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten, den Brennpunkten, konstant ist.

Fadenkonstruktion: Ein Lineal der Länge l > 2a_{1} > 2e wird mit einem Ende im Brennpunkt F_{1} drehbar befestigt. Von einem Faden der Länge l − 2a_{1} wird ein Ende am nicht in F_{1} befestigten Ende des Lineals und das andere Ende im Brennpunkt F_{2} festgehalten. Wird nun das Lineal um F_{1} so gedreht, daß der Faden durch die an das Lineal gedrückte Bleistiftspitze stets gespannt bleibt, so beschreibt diese einen Hyperbelbogen.

Auftreten in der Umwelt: Punkte, an denen sich die durch zwei punktförmige Erreger erzeugten Wasserwellen auslöschen, liegen auf Hyperbeln, d.h., die Zonen relativer Ruhe im bewegten Wasser bilden Hyperbeln, in deren Brennpunkten die Wellenerreger sind.

Parabel

Gleichung in Hauptachsenlage: \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} = x_{2} Der Brennpunkt ist F = ( \begin{matrix}0 \\ p \end{matrix} ), die Leitgerade ist definiert durch x_{2} = −p, wobei p = \frac{a_{1}^{2}}{4}

ist.

Geometrische Beschreibung: Eine Parabel ist die Menge der Punkte, die zu einem festen Punkt, dem Brennpunkt, und zu einer festen Geraden, der Leitgerade, den gleichen Abstand haben. Dabei darf der Brennpunkt nicht auf der Leitgerade liegen.

Fadenkonstruktion: Ein rechtwinkliges Dreick wird mit einer Kathete an der Leitgeraden angelegt. Am Eckpunkt des Dreiecks, der nicht auf der Leitgeraden liegt, wird das Ende eines Fadens befestigt, dessen anderes Ende im Brennpunkt festgehalten wird. Wird nun das Dreieck entlang der Leitgerade so verschoben, daß der Faden durch die an die ”freie“ Kathete gedrückte Bleistiftspitze stets gespannt bleibt, so beschreibt diese einen Parabelbogen.

Auftreten in der Umwelt: Ein geworfener Stein bewegt sich (näherungsweise) auf einer Parabel.

Im Brennpunkt ausgesandte Lichtstrahlen werden von der Parabel senkrecht zur Leitgeraden reflektiert. Dieser Effekt wird bei Autoscheinwerfern und Satellitenantennen ausgenutzt.

Beispiel 8.7. Hauptachsenlage der durch x_{1}x_{2} = 1 definierten Quadrik im ℝ^{2}.

Für x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) gilt:

x_{1}x_{2} − 1 = x^{t} · ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{matrix} ) · x − 1.

Daher ist A = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{matrix} ) und Ã = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{matrix} ), und es gilt

r = Rg A = 2 = Rg Ã − 1 Es liegt also Fall (b) vor. Wegen χ_{A} = X^{2} − \frac{1}{4} sind \frac{1}{2} und −\frac{1}{2} die Eigenwerte von A. Eine geeignete Drehung bildet die Quadrik Q also auf die durch

\frac{x_{1}^{2}}{2} − \frac{x_{2}^{2}}{2} = 1 definierte Quadrik ab. Diese ist schon in Hauptachsenlage. Folglich ist Q eine Hyperbel.

Beweis des Klassifikationssatzes: Wir werden die gesuchte Hauptachsentransformation schrittweise konstruieren.

1. Schritt: Orthogonal-Diagonalisierung von A (”Wegdrehen“ gemischter quadratischer Terme).

Da A ∈ ℝ^{n} symmetrisch ist, gibt es eine orthogonale Matrix P ∈ O(n), so daß gilt

P^{t} · A · P = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ). Die orthogonale Abbildung ℝ^{n} → ℝ^{n}, x ↦ y = P^{t} · x,

bildet also die Quadrik Q auf die Quadrik Q_{1} ab, die definiert ist durch:

0 = x^{t} · A · x + b^{t} · x + γ
= y^{t} · [P^{t} · A · P] · y + b^{t} · P · y + γ
= ∑_{i=1}^{n} λ_{i} y_{i}^{2} + ∑_{i=1}^{n} μ_{i} y_{i} + γ,

wobei y = ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ) und ( μ_{1} ; ⋮ ; μ_{n} ) := b^{t} · P ist.

2. Schritt: Eine Vertauschung der Koordinaten wird durch eine Permutationsmatrix P′ beschrieben. Für diese gilt P′ · P′ = E_{n} und (P′)^{t} = P′. Also definiert P′ eine orthogonale Abbildung. Wir dürfen daher annehmen, daß gilt:

λ_{1}, …, λ_{k} > 0, λ_{k+1}, …, λ_{r} < 0, λ_{r+1} = … = λ_{n} = 0.

3. Schritt: Translation (”Wegschieben“ linearer Terme durch quadratische Ergänzung). Nach dem 2. Schritt ist Q_{1} definiert durch

0 = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} y_{i}^{2} + ∑_{i=1}^{n} μ_{i} y_{i} + γ

= ∑_{i=1}^{r} λ_{i} (y_{i} + \frac{μ_{i}}{2λ_{i}})^{2} + ∑_{i=r+1}^{n} μ_{i} y_{i} + γ − ∑_{i=1}^{r}(\frac{μ_{i}}{2λ_{i}})^{2}.

Die Translation ℝ^{n} → ℝ^{n}, y ↦ z = y + ( (\frac{μ_{1}}{2λ_{1}} )^{2} ; ⋮ ; (\frac{μ_{r}}{2λ_{r}})^{2} ; 0 ; ⋮ ; 0 ) , überführt daher Q_{1} in die Quadrik

Q_{2}, die definiert ist durch:

0 = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} z_{i}^{2} + ∑_{i=r+1}^{n} μ_{i} z_{i} + γ′,

wobei z = ( z_{1} ; ⋮ ; z_{n} ) und γ′ := γ − ∑_{i=1}^{r}(\frac{μ_{i}}{2λ_{i}})^{2} ist.

4. Schritt: Wir unterscheiden mehrere Fälle.

Fall 1: Es gelte μ_{r+1} = … = μ_{n} = 0. Dann ist Q_{2} definiert durch

(∗)  0 = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} z_{i}^{2} + γ′.

Fall 1.1: Es sei γ′ = 0. Eventuell nach Multiplikation der Gleichung mit −1 und anschließender Vertauschung von Koordinaten (vgl. Schritt 2) dürfen wir λ_{1}, …, λ_{k} > 0, λ_{k+1}, …, λ_{r} < 0 mit k ≥ r − k annehmen. Mit

a_{i} := \{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{λ_{i}}} , & falls 1 ≤ i ≤ k \\ \frac{1}{\sqrt{−λ_{i}}} , & falls k + 1 ≤ i ≤ r \end{matrix}

können wir also die Gleichung (∗) in der Form schreiben:

0 = ∑_{i=1}^{k}(\frac{x_{i}}{a_{i}})^{2} − ∑_{i=k+1}^{r}(\frac{x_{i}}{a_{i}})^{2}.

Dies ist eine Gleichung vom Typ (a).

Fall 1.2: Es sei γ′ ≠ 0. Dann dürfen wir γ′ > 0 annehmen (vgl. Fall 1.1). Wir setzen

a_{i} := \{ \begin{matrix}\sqrt{\frac{γ′}{λ_{i}}} , & falls 1 ≤ i ≤ k \\ \sqrt{\frac{γ′}{−λ_{i}}} , & falls k + 1 ≤ i ≤ r. \end{matrix}

Nach Division durch γ′ können wir dann Gleichung (∗) in der Form schreiben:

1 = ∑_{i=1}^{k}(\frac{x_{i}}{a_{i}})^{2} − ∑_{i=k+1}^{r}(\frac{x_{i}}{a_{i}})^{2}.

Dies ist eine Gleichung vom Typ (b).

Fall 2: Es sei v := ( μ_{r+1} ; ⋮ ; μ_{n} ) ≠ 0. Dann gibt es eine ON-Basis \{\frac{v}{∥v∥}, v_{2}, …, v_{n−r}\} von

ℝ^{n−r}. Für die orthogonale Matrix Q := (\frac{v}{∥v∥}, v_{2}, …, v_{n−r}) ∈ ℝ^{n−r,n−r} gilt dann Q^{t} · v =

( ∥v∥ ; 0 ; ⋮ ; 0 ) . Mit Q ist auch die Blockmatrix Q′ := ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & Q^{t} \end{matrix} ) ∈ ℝ^{n,n} orthogonal. Nach

Anwendung der Kongruenzabbildung ℝ^{n} → ℝ^{n}, z ↦ w = (Q′)^{t} · z, ergibt sich wegen z = Q′ · w aus der definierenden Gleichung von Q_{2}:

0 = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} w_{i}^{2} + ∥v∥ · w_{r+1} + γ′

= ∑_{i=1}^{r} λ_{i} w_{i}^{2} + ∥v∥ · (w_{r+1} + \frac{γ′}{∥v∥}).

Nach der Translation, bei der w_{r+1} + \frac{γ′}{∥v∥} zu u_{r+1} wird, und eventueller Ersetzung von u_{r+1} durch −u_{r+1} können wir k ≥ r − k annehmen und erhalten die Quadrik Q_{3}, die definiert ist durch:

0 = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} u_{i}^{2} − ∥v∥ · u_{r+1}.

Nach Division durch ∥v∥ ergibt sich mit

a_{i} := \{ \begin{matrix}\sqrt{\frac{∥v∥}{λ_{i}}}, & falls 1 ≤ i ≤ k \\ \sqrt{\frac{∥v∥}{−λ_{i}}} , & falls k + 1 ≤ i ≤ r. \end{matrix}

eine Gleichung vom Typ (c).

Zum Zusatz: Ist P ∈ O(n), so ist auch die Matrix P̃ := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & P \end{matrix} ) ∈ ℝ^{n+1,n+1}

orthogonal. Nachrechnen bestätigt die Richtigkeit von

P̃^{t} · T · P̃ = ( \begin{matrix}γ & b^{t} P \\ P^{t} b & P^{t} A P \end{matrix} ) .

Analysiert man mit dieser Beziehung den obigen Beweis, so ergeben sich die Behauptungen aus dem Zusatz. □

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Bemerkung 8.8. Quadriken im ℝ^{3}.

Die Quadriken im ℝ^{3} sind typischerweise Flächen. Kommt in der definierenden Gleichung x_{3} nicht vor, so ist die entsprechende Quadrik ein Zylinder über der ebenen Quadrik mit derselben definierenden Gleichung (vgl. Parabel und Parabelzylinder).

Wir beschränken uns daher auf die Betrachtung der Quadriken, in denen alle Unbestimmten vorkommen. Aus der Klassifikation ergeben sich die folgenden Fälle, wobei wir a_{1}, a_{2}, a_{3} > 0 annehmen dürfen.

r = 3 k = 3 (a) (\frac{x_{1}}{a_{1}} )^{2} + (\frac{x_{2}}{a_{2}} )^{2} + (\frac{x_{3}}{a_{3}} )^{2} = 0 Punkt (doppelt zu zählen)

(b) (\frac{x_{1}}{a_{1}} )^{2} + (\frac{x_{2}}{a_{2}} )^{2} + (\frac{x_{3}}{a_{3}} )^{2} = 1 Ellipsoid

k = 2 (a) (\frac{x_{1}}{a_{1}} )^{2} + (\frac{x_{2}}{a_{2}} )^{2} − (\frac{x_{3}}{a_{3}} )^{2} = 0 Ellipsenkegel

(b) (\frac{x_{1}}{a_{1}} )^{2} + (\frac{x_{2}}{a_{2}} )^{2} − (\frac{x_{3}}{a_{3}} )^{2} = 1 einschaliges Hyperboloid

k = 1 (b) (\frac{x_{1}}{a_{1}} )^{2} − (\frac{x_{2}}{a_{2}} )^{2} − (\frac{x_{3}}{a_{3}} )^{2} = 1 zweischaliges Hyperboloid

k = 0 (b) −(\frac{x_{1}}{a_{1}} )^{2} − (\frac{x_{2}}{a_{2}} )^{2} − (\frac{x_{3}}{a_{3}} )^{2} = 1 leere Menge

r = 2 k = 2 (c) (\frac{x_{1}}{a_{1}} )^{2} + (\frac{x_{2}}{a_{2}} )^{2} = x_{3} elliptisches Paraboloid

k = 1 (c) (\frac{x_{1}}{a_{1}} )^{2} − (\frac{x_{2}}{a_{2}} )^{2} = x_{3} hyperbolisches Paraboloid

Ellipsoid

Gleichung: \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{a_{3}^{2}} = 1

Diskussion: Der Schnitt mit der durch x_{i} = c, c ∈ ℝ, definierten Ebene ist eine Ellipse, falls |c| < a_{i} ist, und die leere Menge, falls |c| > a_{i} ist.

Ellipsenkegel

Gleichung: \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} − \frac{x_{3}^{2}}{a_{3}^{2}} = 0

Skizze:

Diskussion: Der Schnitt mit der durch x_{1} = 0 bzw. x_{2} = 0 definierten Ebene ist jeweils ein Paar sich im Nullpunkt schneidender Geraden. Der Schnitt mit der durch x_{3} = c, c ≠ 0 definierten Ebene ist eine Ellipse.

Einschaliges Hyperboloid

Gleichung: \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} − \frac{x_{3}^{2}}{a_{3}^{2}} = 1

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Diskussion: Der Schnitt mit der durch x_{1} = 0 bzw. x_{2} = 0 definierten Ebene ist eine Hyperbel. Der Schnitt mit der durch x_{3} = c definierten Ebene ist eine Ellipse. Zweischaliges Hyperboloid

Gleichung: \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} − \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} − \frac{x_{3}^{2}}{a_{3}^{2}} = 1

Skizze:

Diskussion: Der Schnitt mit der durch x_{2} = 0 bzw. x_{3} = 0 definierten Ebene ist eine Hyperbel. Der Schnitt mit der durch x_{1} = c definierten Ebene ist eine Ellipse, falls |c| > a_{1} ist, und die leere Menge, falls |c| < a_{1} ist.

Elliptisches Paraboloid

Gleichung: \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = x_{3}

Diskussion: Der Schnitt mit der durch x_{1} = 0 bzw. x_{2} = 0 definierten Ebene ist eine Parabel. Der Schnitt mit der durch x_{3} = c definierten Ebene ist eine Ellipse, falls c > 0 ist, und die leere Menge, falls c < 0 ist.

Hyperbolisches Paraboloid

Gleichung: \frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} − \frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} = x_{3}

Diskussion: Der Schnitt mit der durch x_{1} = 0 bzw. x_{2} = 0 definierten Ebene ist jeweils eine Parabel. Beide schneiden sich nur im Nullpunkt. Der Schnitt mit der durch x_{3} = c definierten Ebene ist eine Hyperbel.