Übungen zur Algebraischen Geometrie (SoSe 2001)

Blatt 10

Aufgabe 31 (4 Punkte) Es sei M ein graduierter A-Modul. Beweisen Sie:

(a) Sind N_{1} und N_{2} graduierte Untermoduln von M, so sind auch N_{1} ∩ N_{2} und N_{1} + N_{2} graduierte Untermoduln von M.

(b) Ist N ein graduierter Untermodul von M, so ist der Annullator Ann_{A} N ein homogenes Ideal von A.

Aufgabe 32 (4 Punkte) Es sei 𝔞 = (f_{1}, …, f_{c}) ein Ideal von K[x_{0}, …, x_{n}] der Höhe c, wobei die Erzeugenden f_{i} homogen seien. Zeigen Sie, dass alle minimalen Primteiler von 𝔞 die Höhe c haben.

Aufgabe 33 (4 Punkte) Es sei 𝔞 ⊂ K[x_{0}, …, x_{n}] =: R ein monomiales Ideal, und es sei f := ∑_{i=1}^{s} λ_{i}p_{i} ∈ R ein Polynom mit paarweise verschiedenen Monomen p_{1}, …, p_{s} und λ_{i} ∈ K. Beweisen Sie: Es ist f ∈ 𝔞 genau dann, wenn alle p_{i} in 𝔞 liegen.

Aufgabe 34 (4 Punkte) Es sei 𝔞 ⊂ K[x_{0}, …, x_{n}] =: R ein monomiales Ideal. Zeigen Sie, dass 𝔞 ein Primärideal ist genau dann, wenn 𝔞 = (x_{i_{1}}^{e_{1}}, …, x_{i_{k}}^{e_{k}}, p_{1}, …, p_{s}) mit i_{1}, …, i_{k} ∈ {0, …, n} und Monomen p_{1}, …, p_{s} ∈ K[x_{i_{1}}, …, x_{i_{k}}].

Abgabe: Freitag, 29.6.2001, 11.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!