Übungen zur Algebraischen Geometrie (SoSe 2001)

Blatt 11

Aufgabe 35 (4 Punkte) Es sei 𝔞 ⊂ K[x_{0}, …, x_{n}] ein vollständiger Durchschnitt vom Typ (d_{1}, …, d_{c}), d.h., es ist 𝔞 = (f_{1}, …, f_{c}) mit homogenen f_{i} vom Grad d_{i}. Zeigen Sie

deg 𝔞 = d_{1} · . . . · d_{c}.

Aufgabe 36 (6 Punkte) Es sei

M′ ⟶^{φ} M ⟶^{ψ} M′′ → 0

eine exakte Sequenz von R-Moduln. Zeigen Sie für jedes Ideal 𝔞 ⊂ R, dass

M′/𝔞M′ ⟶^{\overline{φ}} M/𝔞M ⟶^{\overline{ψ}} M′′/𝔞M′′ → 0

eine exakte Sequenz von R/𝔞R-Moduln ist. Ist \overline{φ} immer injektiv, falls φ injektiv ist?

Aufgabe 37 (8 Punkte) Es seien R = K[x_{0}, …, x_{3}] und S = K[s, t] Polynomringe über dem Körper K. Es sei φ : R → S der durch x_{0} ↦ s^{4}, x_{1} ↦ s^{3}t, x_{2} ↦ st^{3}, x_{3} ↦ t^{4} definierte Einsetzungshomomorphismus.

(a) Man zeige, daß 𝔭 := ker φ ein homogenes Primideal von R ist und bestimme sein Hilbertpolynom.

(b) Man beweise

(x_{0}x_{3} − x_{1}x_{2}, x_{0}^{2}x_{2} − x_{1}^{3}, x_{0}x_{2}^{2} − x_{1}^{2}x_{3}, x_{1}x_{3}^{2} − x_{2}^{3}) ⊂ 𝔭.

Gilt sogar Gleichheit?

Abgabe: Freitag, 6.7.2001, 11.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!