Übungen zur Algebraischen Geometrie (SoSe 2001)

Blatt 2

Aufgabe 3 (2 Punkte) Es sei 𝔞 ⊂ (x_{0}, …, x_{n}) ein homogenes Ideal des Polynomrings R = K[x_{0}, …, x_{n}]. Zeigen Sie, dass 𝔞^{sat} das kleinste saturierte homogene Ideal von R ist, das 𝔞 enthält.

Aufgabe 4 (6 Punkte) Es seien 𝔞, 𝔟, 𝔠 Ideale eines Ringes R.

(a) Zeigen Sie: Rad(𝔞 ∩ 𝔟 + 𝔠) = Rad(𝔞 + 𝔠) ∩ Rad(𝔟 + 𝔠).

(b) Gilt immer 𝔞 ∩ 𝔟 + 𝔠 = (𝔞 + 𝔠) ∩ (𝔟 + 𝔠)?

(c) Zeigen Sie, dass die Behauptung in (b) richtig ist, falls 𝔞, 𝔟, 𝔠 monomiale Ideale eines Polynomrings sind.

Aufgabe 5 (4 Punkte) Im Ring K[X_{0}, …, X_{6}] berechne man die Primärzerlegung folgender Ideale: I = (X_{0}X_{2}, X_{1}X_{2}, X_{1}X_{3}) J = (X_{0}X_{1}X_{4}, X_{0}X_{2}X_{3}, X_{0}X_{3}X_{6}, X_{1}X_{2}X_{3}, X_{1}X_{2}X_{4}, X_{5}^{3}).

Aufgabe 6 (4 Punkte) Es sei L/K eine Körpererweiterung, und es seien R = K[x_{0}, …, x_{n}], S = L[x_{0}, …, x_{n}]. Man zeige für jedes homogene Ideal 𝔞 von R, dass die Hilbertfunktionen von R/𝔞 und S/𝔞S übereinstimmen.

Abgabe: Freitag, 4.5.2001, 11.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!