Übungen zur Algebraischen Geometrie (SoSe 2001)

Blatt 3

Aufgabe 7 (6 Punkte) Es sei f ein homogener Nichtnullteiler der graduierten K-Algebra A. Zeigen Sie:

(a) dim A/fA = dim A − 1.

(b) deg A/fA = deg f · deg A.

Aufgabe 8 (4 Punkte) Zeigen Sie für das Ideal (x_{0}^{k_{0}}, …, x_{m}^{k_{m}}) des Polynomrings K[x_{0}, …, x_{n}] (n ≥ m) gilt:

deg(x_{0}^{k_{0}}, …, x_{m}^{k_{m}}) = k_{0} · . . . · k_{m}.

Aufgabe 9 (4 Punkte) (a) Zeigen Sie, dass die Summe und der Durchschnitt zweier Untermoduln wieder ein Untermodul ist.

(b) Belegen Sie durch ein Beispiel, dass die Vereinigung zweier Untermoduln kein Untermodul sein muss.

Abgabe: Freitag, 11.5.2001, 11.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!