Übungen zur Algebraischen Geometrie (SoSe 2001)

Blatt 4

Aufgabe 10 (8 Punkte) Es sei S ⊂ ℙ^{n} ein durch das homogene Ideal 𝔞 ⊂ R = K[x_{0}, …, xN] definierte projektive Schema einer Dimension ≥ 1. Es sei l ∈ R eine Linearform, die in keinem der von 𝔪 verschiedenen assoziierten Primidele von 𝔞 enthalten ist. Es sei H = V (l), die durch l definierte Hyperebene. Zeigen Sie, dass für den Durchschnitt S ∩ H gilt:

dim S ∩ H = dim S − 1

und

deg S ∩ H = deg S.

Aufgabe 11 (6 Punkte) Es sei N ein Untermodul des R-Moduls M.

(a) Zeigen Sie, dass der kanonische Epimorphismus π : M → M/N eine inklusionserhaltende bijektive Abbildung zwischen der Menge der Untermoduln von M, die N enthalten, und der Menge der Untermoduln von M/N induziert.

(b) Es seien M_{1}, M_{2} Untermoduln von M, die N enthalten. Beweisen Sie

π(M_{1} ∩ M_{2}) = π(M_{1}) ∩ π(M_{2}).

Abgabe: Freitag, 18.5.2001, 11.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!