Übungen zur Algebraischen Geometrie (SoSe 2001)

Blatt 6

Aufgabe 16 (4 Punkte) Zwei Matrizen A, B ∈ R^{p,q} über dem Ring R heißen äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen P ∈ R^{p,p}, Q ∈ R^{q,q} gibt, so dass gilt A = P · B · Q. Zeigen Sie, dass die Matrizen A, B äquivalent sind genau dann, wenn gilt: coker A ≅ coker B.

Aufgabe 17 (4 Punkte) Es seien M, N Untermoduln eines R-Moduls. Zeigen Sie, dass die Sequenz von R-Moduln

0 → M ∩ N ⟶^{φ} M ⊕ N ⟶^{ψ} M + N → 0,

wobei φ(y) := (y, y) und ψ(m, n) := m−n, exakt ist. (Diese Sequenz wird Mayer-Vietoris-Sequenz genannt.)

Aufgabe 18 (4 Punkte)

(a) Es sei

0 → V′ → V → V′′ → 0

eine exakte Sequenz von K-Vektorräumen. Zeigen Sie, dass dann gilt

dim_{K} V = dim_{K} V′ + dim_{K} V′′.

(b) Es seien 𝔮_{1}, 𝔮_{2} ⊂ R := K[x_{0}, …, x_{n}] homogene Primärideale derart, dass gilt: Rad 𝔮_{1} ≠ Rad 𝔮_{2} und dim R/𝔮_{1} = dim R/𝔮_{2}. Beweisen Sie, dass daraus folgt

deg(𝔮_{1} ∩ 𝔮_{2}) = deg 𝔮_{1} + deg 𝔮_{2}.

(Hinweis: Benutzen Sie eine Mayer-Vietoris-Sequenz.)

Abgabe: Freitag, 1.6.2001, 11.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!