Übungen zur Algebraischen Geometrie (SoSe 2001)

Blatt 7

Aufgabe 19 (4 Punkte) Ein k-minor einer Matrix A ∈ R^{p,q} ist die Determinante einer k × k-Matrix, die aus A durch Streichen von p − k Zeilen und q − k Spalten entsteht. Zeigen Sie: Ist R = K ein Körper, so ist der Rang von A die größte ganze Zahl k, so dass es einen von null verschiedenen k-Minor von A gibt.

Aufgabe 20 (4 Punkte) Es sei A ∈ R^{p,q} eien Matrix über dem Ring R, und es bezeichne I_{k}(A) das Ideal von R, das von allen k-Minoren von A erzeugt wird. Beweisen Sie, dass dann gilt: I_{p}(A) ⊂ Ann_{R}(coker A).

Aufgabe 21 (2 Punkte) Es sei M ein Modul über dem noetherschen Ring R. Für r ∈ R bezeichne φ_{r} : M → M, m ↦ rm, die Multiplikation mit r. Zeigen Sie: φ_{r} ist injektiv genau dann, wenn r in keinem assoziierten Primideal von M enthalten ist.

Aufgabe 22 (4 Punkte) Es sei R = K[X, Y, Z] ein Polynomring über dem Körper K. Es sei f := XY − Z^{2} und π : R → \overline{R} = R/fR der kanonische Epimorphismus. Man zeige, daß 𝔭 := (X, Z) ein Primideal von R und \overline{𝔭} := π(𝔭) ein Primideal von \overline{R} ist. Dann beweise man, daß \overline{𝔭}^{2} kein Primärideal ist.

Abgabe: Freitag, 8.6.2001, 11.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!