Übungen zur Algebraischen Geometrie (SoSe 2001)

Blatt 8

Aufgabe 23 (6 Punkte) Es sei φ : M → M′ ein Epimorphismus endlich erzeugter R-Moduln M und M′, wobei R ein noetherscher Ring sei. Man beweise:

(a) Ist N ein Untermodul von M mit ker φ ⊂ N und der reduzierten Primärzerlegung N = Q_{1} ∩ … ∩ Q_{s}, so ist φ(N) = φ(Q_{1}) ∩ … ∩ φ(Q_{s}) eine reduzierte Primärzerlegung von φ(N).

(b) Ist N′ ein Untermodul von M′ mit der reduzierten Primärzerlegung N′ = Q′_{1}∩…∩Q′_{s}, so ist φ^{−1}(N′) = φ^{−1}(Q′_{1}) ∩ … ∩ φ^{−1}(Q′_{s}) eine reduzierte Primärzerlegung von φ^{−1}(N′).

Aufgabe 24 (3 Punkte) Es sei A := K[x_{1}, …, x_{n}]/𝔞. Zeigen Sie: Ist I ein Ideal von A, so gilt dim A/I = dim(A/ Rad I).

Aufgabe 25 (3 Punkte) Berechnen Sie die Höhe der Ideale von R = K[X_{0}, …, X_{3}] 𝔞_{1} = (X_{0}^{2}, X_{0}X_{1}, X_{0}X_{2})

𝔞_{2} = (X_{0}X_{2}, X_{0}X_{3}, X_{1}X_{2}, X_{1}X_{3})

sowie dim R/𝔞_{1} und dim R/𝔞_{2}.

Aufgabe 22 (4 Punkte) Es sei

0 → V_{s} → … → V_{1} → V_{0} → 0

eine exakte Sequenz endlich-dimensionaler K-Vektorräume. Beweisen Sie, dass dann gilt:

∑_{i=0}^{s}(−1)^{i} dim_{K} V_{i} = 0.

Abgabe: Freitag, 15.6.2001, 11.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!