Übungen zur Algebraischen Geometrie (SoSe 2001)

Blatt 9

Aufgabe 27 (4 Punkte) Es sei 𝔞 ∈ R := K[x_{0}, …, x_{n}] ein homogenes Ideal mit dim R/𝔞 > 0 und der reduzierten Primärzerlegung

𝔞 = 𝔮_{1} ∩ … ∩ 𝔮_{s}.

Die Primärkomponenten seien so nummeriert, dass für ein t ≤ s gilt dim R/𝔮_{i} = dim R/𝔞 genau dann, wenn 1 ≤ i ≤ t. Zeigen sie, dass

deg 𝔞 = deg 𝔮_{1} + … + deg 𝔮_{t}.

Aufgabe 28 (4 Punkte) Es sei 𝔞 := (xy, xz, yz, yw) ⊂ K[x, y, z, w]. Berechnen Sie die Höhe und den Grad von 𝔞 und 𝔞 : (x + y).

Aufgabe 29 (2 Punkte) Es seien 𝔮, 𝔮 verschiedene Primideale des Ringes R mit 𝔭 ⊂ 𝔮. Zeigen Sie, dass daraus dim R/𝔭 > dim R/𝔮 folgt.

Aufgabe 30 (4 Punkte) Es sei M ein endlich erzeugter Modul über dem noetherschen, lokalen Ring (R, 𝔪) endlicher Dimension. Ferner sei a ∈ 𝔪 ein Element, das in keinem isolierten Primideal von M enthalten ist. Beweisen Sie, dass dann gilt:

dim M/aM = dim M − 1.

Abgabe: Freitag, 22.6.2001, 11.00 Uhr im grünen Kasten 129 auf der Ebene D1.

Wichtig: Bitte Name, Vorname und Matrikelnummer angeben!