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Der affine Fall

(1) Sei Kein Körper, 𝔞 ⊆ R:= K[x_{1},... ,x_{n}]. Die Nullstellenmenge

V (𝔞) := {P ∈ 𝔸^{n} ∀f ∈ 𝔞: f(P) = 0 } ⊆ 𝔸^{n} heißt eine affine Varietät, die durch 𝔞 definiert wird.

(2) Sei W ⊆ 𝔸^{n}. I(W) := {f ∈ R ∀P ∈ W : f(P) = 0} heißt das Ideal von W.

(3) Es gelten:

(i) Ist W ⊆ 𝔸^{n} eine affine Varietät, so ist V (I(W)) = W.

(ii) 𝔞 ⊆ I(V (𝔞)).

(iii) 𝔞 ⊆ 𝔟 ⇒ V (𝔟) ⊆ V (𝔞) , W_{1} ⊆ W_{2} ⇒ I(W_{2}) ⊆ I(W_{1}).

(iv) Sind W_{1},W_{2} ⊆ 𝔸^{n}affine Varietäten, so ist W_{1}∩ W_{2} = V (I(W_{1}) + I(W_{2})) ,

W_{1}∪ W_{2} = V (I(W_{1}) ∩ I(W_{2})) .

(v) Hilbertscher Nullstellensatz: Ist K = K̄, so gilt für jede affine Varietät W ⊆ 𝔸^{n}, die durch 𝔞

definiert wird:

I(W) = I(V (𝔞)) = \sqrt{𝔞}.

Damit erhält man die Beziehung

{Untervarietäten des 𝔸^{n} }

⟷^{1:1}

{Radikalideale von R}

⟷^{1:1}

{Faktorringe von R ohne nilpotente Elemente}

W ⟼→ I(W)  𝔞 ⟼→ R/𝔞
V (𝔞) ⟵ 𝔞  Kern(R → A) ⟵ A

Ist P = (a_{1},... ,a_{n}) ∈ 𝔸^{n} ein Punkt, so ist I(P) = (x_{1}− a_{1},... ,x_{n}− a_{n}) ein maximales Ideal in R. Es gelten dim P = 0 und dim R/I(P) = 0.

Der projektive Fall

Sei P = (a_{0} : ...: a_{n}) ∈ ℙ^{n} , f ∈ R:= K[x_{0},... ,x_{n}]. Sagen wir, f habe eine Nullstelle in P, so meinen wir

∀λ ∈ K : f(λa_{0},... ,λa_{n}) = 0.

Ist Kunendlich, so folgt schon, daß für jede homogene Komponente f_{p} gelten muß f_{p}(P) = 0 . Daraus folgt für o̸ ≠ W ⊂ ℙ^{n} , daß I(W) := {f ∈ R ∀P ∈ W : f(P) = 0} homogen ist. Ist K = K̄, so haben wir die Beziehung

{Untervarietäten des ℙ^{n} }

⟷^{1:1}
{homogene Ideale 𝔞 ⊆ (x_{0},... ,x_{n})
mit \sqrt{𝔞} = 𝔞 .\}

⟷^{1:1}

{Graduierte Faktorringe von Rohne nilpotente Elemente}

Sei P = (a_{0} : ...: a_{n}) ∈ ℙ^{n} ein Punkt. Wir nehmen a_{i} ≠ 0 an. Wir haben die Beziehung

P ⟷ I(P) = (a_{i}x_{j} − a_{j}x_{i}), j ∈ {0,... ,n}\{i}, I(P)hat nErzeugende. Es gelten dim P = 0, dim R/I(P) = 1. Sei Q = (1 : 0 : ...: 0) , I(Q) = (x_{1},... ,x_{n}), also ist R/I(Q) ≅ K[x] . o̸ ⟷ 𝔪 = (x_{0},... ,x_{n}) .

Graduierte Algebren

Eine K-Algebra heißt graduiert, wenn A eine Zerlegung A = ⨁ _{j∈ℕ_{0}} [A]_{j} besitzt, wobei [A]_{j} K-Vektorräume sind, K ⊆ [A]_{0}und [A]_{i}· [A]_{j} ⊆ [A]_{i+j} . Die Elemente in A_{j} := [A]_{j}heißen die homogenen Elemente in Avon Grad j. [A]_{j}wird die Komponente von Grad j in Agenannt. Beispiele:

(1) A = R = K[x_{0},... ,x_{n}]. [R]_{j}ist die Menge der homogenen Polynome von Grad j.

(2) Ist 𝔞 ⊆ R ein homogenes Ideal, so ist A = R/𝔞 eine graduierte K-Algebra mit der Graduierung [A]_{j} := {f mod𝔞 f ∈ [R]_{j} }. (1)

(3) Umgekehrt: Ist 𝔞 irgendein Ideal von R, so liefert (1) eine Graduierung von R/𝔞genau dann wenn 𝔞 homogen ist.