1 Schemata

Wir wollen nun den Begriff einer Varietät verallgemeinern:

1.1. Beispiel. Betrachte

J_{1} = (x(x − y)), J_{2} = (y) ⊆ R = K[x,y] und W_{1} = V (J_{1}), W_{2} = V (J_{2}) ∈ 𝔸^{2}.W_{2}ist die y-Achse, W_{1}ist die x-Achse vereinigt mit der Winkelhalbierenden des ersten bzw. dritten Quadranten. W_{1}∩ W_{2}ist als Varietät gerade (0,0), denn

I(W_{1}∩ W_{2}) = \sqrt{J_{1}+ J_{2}} = \sqrt{x^{2}− xy,y}= \sqrt{x^{2},y}= (x,y).

Intuitiv sollte der Schnittpunkt doppelt gezählt werden, was in dem Ideal (x^{2},y) = J_{1}+ J_{2} besser beschrieben wird.

1.2. Definition. Ein affines Unterschema X ⊆ 𝔸^{n} ist gegeben durch einen Faktorring A von affine Unterschemata R = K[x_{1},... ,x_{n}]. Dieser Ring A heißt der Koordinatenring von X. Ist A = R/𝔞, so heißt 𝔞 das Koordinatenring definierende Ideal von X und man schreibt

definierendes Ideal I_{X}

I_{X} = 𝔞. Sind X,Y ⊆ 𝔸^{n}affine Unterschemata, so heißt X ein Unterschema von Y, falls I_{Y}⊆ I_{X} (Inklusionsumkehrend) X und Yheißen isomorph, falls R/I_{X}und R/I_{Y}als K-Algebren isomorph sind. Isomorphie Das reduzierte Schema X_{red}ist das durch \sqrt{I_{X}} definierte Schema. (Ist K algebraisch abgeschlossen, reduziertes Schema so ist X_{red}also die Varietät V (\sqrt{I_{X}}).) X_{red}

1.3. Bemerkung. (i) Statt Unterschema sagen wir oft nur Schema, obwohl obige Definition nur Schema ein Spezialfall des allgemeinen Begriffes eines Schemas ist.

(ii) Intuition: Die Punkte des Schemas X sind die Punkte der Varietät X_{red}. Deren “Vielfachheit”

wird im Ideal I_{X} widergespiegelt.

1.4. Beispiel. (i) 𝔞_{j} = (x^{j},y) ⊆ K[x,y]definert ein Unterschema X_{j} ⊆ 𝔸^{2}. Es ist (X_{j})_{red}= P, wobei P = (0,0). (X_{j} ist ein “dicker Punkt.”)

(ii) X_{j−1} ist ein Unterschema von X_{j}, denn (x^{j},y) ⊆ (x^{j−1} ,y).

(iii) Ist Y ⊆ 𝔸^{2} der Punkt (1,1), so sind Yund X_{1}isomorph als Schemata.

1.5. Definition. (i) Sind X,Y ⊆ 𝔸^{n} affine Schemata, so ist der Durchschnitt X ∩ Y das durch I_{X}+ I_{Y} definierte Schema, und die Vereinigung X ∪ Ydas durch I_{X}∩ I_{Y} definierte Schema.

(ii) Das Schema X ⊆ 𝔸^{n} heißt irreduzibel, wenn gilt: Ist X = X_{1}∪ X_{2} für affine Unterschemata Irreduzibilität X_{1},X_{2} ⊆ X, so folgt X = X_{1} oder X = X_{2} oder X_{red}= (X_{1})_{red}= (X_{2})_{red}.

X heißt reduziert, falls X = X_{red}. reduzierte Schemata

1.6. Lemma. Es sei X ∈ 𝔸^{n} ein Schema mit definierendem Ideal I_{X}. Dann gilt

(a) X ist irreduzibel genau dann, wenn I_{X} ein Primärideal ist,

(b) X ist irreduzibel und reduziert genau dann, wenn I_{X} ein Primideal ist.

Beweis. (a) “⇒ ” Es sei Ass(R/I_{X}) = {𝔭_{1},... ,𝔭_{s}}, und es sei I_{X} = 𝔮_{1}∩ ...∩ 𝔮_{s} eine Primärzerlegung mit \sqrt{𝔮_{i}} = 𝔭_{i} .

Antithese: Es sei s > 1 . Dann seien X_{1},X_{2}die durch 𝔮_{1} bzw. 𝔮_{2}∩ ...∩ 𝔮_{s} definierten Schemata. Es folgt X = X_{1}∪ X_{2}, aber X ≠ X_{1},X ≠ X_{2}. Angenommen, es wäre X_{red}= (X_{1})_{red}= (X_{2})_{red}. Dann folgte, daß \sqrt{I_{X}}= \sqrt{I_{X_{1}}}= 𝔭_{1} = \sqrt{I_{X_{2}}}= 𝔭_{2}∩ ...∩ 𝔭_{2} , also 𝔭_{1} = 𝔭_{j} für ein j ∈ \{2,... ,s\} , im Widerspruch zur Wahl der 𝔭_{i}. Folglich ist X nicht irreduzibel, Widerspruch zur Voraussetzung. “⇐ ” Sei X = X_{1}∪ X_{2}. Nach Voraussetzung ist dann 𝔭:= \sqrt{I_{X}}= \sqrt{I_{X_{1}}}∩ \sqrt{I_{X_{2}}} ein Primideal. Daraus folgt O.E. 𝔭 = \sqrt{I_{X_{1}}} . Fall 1: 𝔭 = \sqrt{I_{X_{2}}} , d.h. X_{red}= (X_{1})_{red}= (X_{2})_{red}. Fall 2: 𝔭 ≠ \sqrt{I_{X_{2}}}= 𝔭_{1}∩ ...∩ 𝔭_{s} , also 𝔭 ⊊ 𝔭_{1}∩ ...∩ 𝔭_{s} , es folgt 𝔭 ⊊ 𝔭_{i} für alle i ∈ {1,... ,s}. Wegen 𝔭 = \sqrt{I_{X}} hat I_{X_{1}} = 𝔮 ∩ 𝔮̃_{1}∩ ...∩ 𝔮̃_{t} eine Primärzerlegung, in der 𝔮 die einzige isolierte Komponente ist. Folglich ist 𝔮 auch die einzige isolierte Komponente von I_{X_{1}}∩ I_{X_{2}} = I_{X} . Da I_{X} ein Primärideal ist, folgt 𝔮 = I_{X} aus der Eindeutigkeit isolierter Komponenten. Es ergibt sich 𝔮 = I_{X_{1}}∩ I_{X_{2}} ⊆ I_{X_{1}} ⊆ 𝔮 , also 𝔮 = I_{X_{1}} , d.h. X = X_{1}. Aus der Fallunterscheidung folgt die Irreduzibilität von X.

(b) Folgt aus (a).

1.7. Folgerung. Jedes affine Schema ist Vereinigung endlich vieler irreduzibler Schemata.

Beweis. Folgt aus der Existenz der Primärzerlegung im Polynomring.

Wir wollen nun die analogen Begriffe im projektiven Raum einführen. Ist 𝔪 = (x_{0},... ,x_{n}) ⊆ R = K[x_{0},... ,x_{n}], so gilt für jedes 𝔪-primäre Ideal 𝔮: V (𝔮) = V (𝔪) =o̸.

saturierte Schemata 1.8. Definition. Es sei 𝔞 ⊆ 𝔪 ein homogenes Ideal von R. Dann heißt 𝔞 saturiert, falls 𝔪 ∉ Ass(𝔞)

gilt.

Saturierung 𝔞_{sat} Das Ideal 𝔞_{sat}:= ⋃ _{j≥1} (𝔞: 𝔪^{j}) heißt die Saturierung von 𝔞. 𝔞_{sat} ist ein saturiertes homogenes Ideal. (Folgt aus Übungsaufgabe 2 und Lemma I.7.19.)

1.9. Beispiel. Betrachte 𝔞 = (x_{0}^{2},x_{1}^{2},x_{0}x_{1}) ⊆ K[x_{0},x_{1},x_{2}]. Es ist 𝔞 = (x_{0},x_{1}^{2}) ∩ (x_{0}^{2},x_{1},x_{2}) nicht saturiert, denn Ass(𝔞) = {(x_{0},x_{1}),(x_{0},x_{1},x_{2})}. Es ist 𝔞_{sat}= (x_{0},x_{1}^{2}). Bemerkung: Ist 𝔞 nicht saturiert, so hat 𝔞 eine Primärzerlegung 𝔞 = 𝔮_{1}∩ ...∩ 𝔮_{s}∩ 𝔮_{T} mit \sqrt{𝔮_{i}} ⊊ \sqrt{𝔮_{T}} = 𝔪 . Dann ist 𝔞_{sat}= 𝔮_{1}∩ ...∩ 𝔮_{s} .

1.10. Definition. (i) Ein projektives Unterschema X ⊆ ℙ^{n} ist gegeben durch einen graduierten projektive Schemata Faktorring von R:= K[x_{0},... ,x_{n}], der einen homogenen Nichtnullteiler positiven Grades besitzt.

Ist A = R/𝔞, so nennt man 𝔞 das homogene Ideal von X. Schreibweise I_{X} = 𝔞. Ferner wird Aals homogenes Ideal I_{X} homogener Koordinatenring von X bezeichnet.

homogener Koordinatenring

(ii) Ist 𝔞 ⊆ 𝔪 = (x_{0},... ,x_{n}) ein homogenes Ideal, so definiert 𝔞 das Schema R/𝔞_{sat}.

Dies ist sinnvoll nach folgendem Lemma:

1.11. Lemma. Ist 𝔞 ⊆ 𝔪 ein homogenes Ideal, das nicht 𝔪-primär ist, so besitzt R/𝔞einen homogenen Nichtnullteiler positiven Grades genau dann, wenn 𝔞 saturiert ist.

Beweis. “⇒ ” Es sei f ∈ R ein Repräsentant des Nichtnullteiler von R/𝔞. Dann gilt 𝔞: f = 𝔞 , denn die Abbildung

ν: R/𝔞−→ R/𝔞
r mod𝔞 ⟼→ (f · r) mod𝔞

ist injektiv. Es ist ν(r mod𝔞) = 0 genau dann, wenn fr ∈ 𝔞 . Aus der Injektivität folgt aber r mod𝔞 = 0 , also r ∈ 𝔞. Dies bedeutet 𝔞: f ⊆ 𝔞 , also 𝔞: f = 𝔞 . Wäre 𝔪 ∈ Ass(𝔞), so folgte wegen f mod𝔞 ∈ 𝔪 mod𝔞 , daß f mod𝔞 ein Nullteiler von R/𝔞wäre (nach Folgerung I.7.28), Widerspruch. “⇐ ” Es sei 𝔞 = 𝔮_{i}∩ ...∩ 𝔮_{s} eine Primärzerlegung von 𝔞 mit 𝔭_{i} = \sqrt{𝔮_{i}} . Nach Voraussetzung gilt 𝔪 ⊊ 𝔭_{i} für i = 1...s . Nach dem Primvermeidungslemma (IV.3.2) folgt die Existenz eines homogenen f ∈ 𝔪\⋃ 𝔭_{i} . Nach (I.7.28) ist f mod𝔞 ein Nichtnullteiler von R/𝔞mit positivem Grad.

1.12. Bemerkung. (i) Für ein homogenes Ideal 𝔞 ⊆ 𝔪 gilt: 𝔞 ist 𝔪-primär genau dann, wenn \sqrt{𝔞} = 𝔪 .

(ii) Aus Lemma (1.11) und Definition (1.10) folgt

{projektive Unterschemata von ℙ^{n} }

⟷^{1:1}

{graduierte Fakorrringe von K[x_{0},... ,x_{n}]mit einem homogenen Nichtnullteiler positiven Grades}

⟷^{1:1} {K[x_{0},... ,x_{n}]/𝔞 , wobei

𝔞 ⊆ 𝔪 ein homogenes saturiertes Ideal}

(iii) Ist 𝔞 ein homogenes, 𝔪-primäres Ideal, so sagen wir, daß R/𝔞 die leere Menge (als Schema) definiert.

1.13. Definition. Seien X,Y ⊆ ℙ^{n}Unterschemata. Dann ist der Durchschnitt definiert durch I_{X}+ I_{Y}, Durchschnitt

Vereinigung Irreduzibilität Reduziertheit Unterschemata Isomorphie

also I_{X∩Y}= (I_{X}+ I_{Y})_{sat} . Die Vereinigung, Irreduzibilität, Reduziertheit und Unterschemata von Xsind wie für affine Schemata definiert. X und Yheißen isomorph, wenn R/I_{X}und R/I_{Y}als graduierte K-Algebren isomorph sind.

1.14. Beispiel. X,Y ⊆ ℙ^{3} mit I_{X} = (x_{0},x_{1}) ∩ (x_{2},x_{3}) = (x_{0}x_{2},x_{0}x_{3},x_{1}x_{2},x_{1}x_{3}) (Paar windschiefer Geraden) und I_{Y}= (x_{1}+ x_{2}) (Ebene). Erwartung: X ∩ Ybesteht aus zwei Punkten.

I_{X}+ I_{Y}= (x_{0}x_{2},x_{0}x_{3},x_{1}x_{2},x_{1}x_{3},x_{1}+ x_{2}) = (x_{1},x_{2},x_{3}) ∩ (x_{0},x_{1},x_{2}) ∩ \underbrace{(x_{0},x_{1}x_{2},x_{1}+ x_{2},x_{3})}_{𝔪−primär},

also (I_{X}+ I_{Y})_{sat}= (x_{0},x_{1},x_{2}) ∩ (x_{1},x_{2},x_{3}).

Hilbertfunktion h_{A} 1.15. Erinnerung. Es sei Aeine graduierte K-Algebra, dann ist die Hilbertfunktion gegeben durch

h_{A}: ℤ → ℕ_{0}, h_{A}(j) = dim_{K}[A]_{j}.

Hilbertpolynom p_{A} Das Hilbertpolynom von A ist dasjenige Polynom p_{A}∈ ℚ[T], so daß gilt h_{A}(j) = p_{A}(j) für alle j ≫ 0 . Ist d = degp_{A}, so kann man das Hilbertpolynom schreiben als

p_{A}(j) = h_{0}(A)\binom{j}{d} + h_{1}(A)\binom{j}{d − 1} + ...+ h_{d}(A)

mit h_{0}(A),... ,h_{d}(A) ∈ ℤ, wobei h_{j}(A) > 0 falls p_{A} ≠ 0 . (Dies folgt per Induktion über d [p_{A/lA}(j) = p_{A}(j) − p_{A}(j − 1) für hinreichend allgemeine l ∈ [A]_{1}]).

1.16. Definition. Sei X ∈ ℙ^{n} ein projektives Schema mit homogenem Koordinatenring A = R/I_{X}.

Hilbertfunktion h_{X} Dann nennt man h_{X}:= h_{A}, p_{X}:= p_{A} die Hilbertfunktion bzw. das Hilbertpolynom von X und Hilbertpolynom p_{X} dimX := dimA − 1 die Dimension von X.

Dimension dimX

Ferner setzen wir

degX := \{ \begin{matrix}h_{0}(A) & falls p_{A} ≠ 0, \\ ∑_{j≥0} h_{A}(j) & falls p_{A}= 0, \end{matrix}

Grad degX und nennen dies den Grad von X bzw. Abzw. I_{X}.

1.17. Beispiel. (i) Für R = K[x_{0},... ,x_{n}]gilt für j ≥ 0

h_{R}(j) = \binom{n + j}{n} = \frac{(j + n)(j + n − 1)··· (j + 1)}{n!}
= \frac{j^{n}}{n!} + kleinere Potenzen von j,

also ist dimR = degp_{R}+ 1 = n + 1 und degR = 1.

(ii) Ist P ∈ ℙ^{n} ein Punkt, so ist A:= R/I(P) ≅ R/(x_{1},... ,x_{n}) ≅ K[x_{0}] . Also folgt aus (i) dimA = 1, dimP = 0 und degP = 1. (Wie erwartet.)

(iii) Sei 0 ≠ f ∈ R ein homogenes Polynom vom Grad d. Dann ergibt sich für A:= R/fR:

[A]_{j} = [R]_{j}/f · [R]_{j−d} , also für j ≥ d

h_{A}(j) = h_{R}(j) − dim_{K}f · [R]_{j−d} = h_{R}(j) − h_{R}(j − d)

= \binom{j + n}{n} − \binom{j − d + n}{n}

= \frac{(j + n)··· (j + 1) − (j − d + n)··· (j − d + 1)}{n!}

= \frac{1}{n!}[j^{n}(1 − 1) + j^{n−1} (n + (n − 1) + ...+ 1 + (d − n) + (d − n + 1) + ...

...+ (d − 1)) + kleinere Potenzen von j],

denn φ: [R]_{j−d} → f · [R]_{j−d} , r ↦ f · r ist ein Isomorphismus und damit ist

dim_{K}f · [R]_{j−d} = dim_{K}[R]_{j−d}.

Also h_{A}(j) = \frac{1}{n!}j^{n−1} · n · d + ... = d \frac{j^{n−1}}{(n−1)!} + ... . Folglich ist dimA = n (d.h. die Dimension von

Hyperfläche dimR/fR = dimR − 1 ) und degA = d. Ist n ≥ 1 , so definiert (f) = fR eine Hyperfläche in ℙ^{n} der Dimension n − 1 und des Grades d. Der Grad der Hyperfläche ist also gleich dem Grad des definierenden Polynoms (wie erwartet).

(iv) deg(x^{a},y^{b},z^{c}) = a · b · c. (Übungsaufgabe 8).