2 Moduln

Der Begriff des Moduls verallgemeinert den Begriff des Vektorraumes, häufig werden Ringe durch Betrachtung von Moduln über ihnen studiert. Ringe sind weiterhin immer kommutativ mit Einselement.

2.1. Definition. Es sei R ein Ring. Ein R-Modul M = (M,+,·) oder Modul über dem Ring R Modul M ist eine Menge M mit Abbildungen + : M × M → M, (m_{1},m_{2}) ↦ m_{1}+ m_{2} , genannt Addition, und ·: R × M → M, (a,m) ↦ a · m, genannt skalare Multiplikation, so daß (M,+) eine abelsche Gruppe ist und für alle a,b ∈ R, m_{1},m_{2},m ∈ Mgilt:

(i) a(m_{1}+ m_{2}) = am_{1}+ am_{2}
(ii) (a + b)m = am + bm
(iii) (ab)m = a(bm)
(iv) 1_{R}· m = m

2.2. Beispiel. (i) Ist Rein Ring, so ist Rauch ein R-Modul mit den Operationen von R.

(ii) Ist R = K ein Körper, so ist eine Menge Mein K-Modul genau dann, wenn Mein K-Vektorraum ist.

(iii) Eine Teilmenge M des Ringes Rist ein R-Modul genau dann, wenn M ein Ideal von Rist.

(iv) Es sei G = (G,+) eine abelsche Gruppe. Definiert man für g ∈ G, n ∈ ℤ:

n · g:= \{ \begin{matrix}\underbrace{g + ...+ g}_{n mal} & falls n > 0, \\ 0 & falls n = 0 und \\ \underbrace{(−g) + ...+ (−g)}_{−n mal} & falls n < 0, \end{matrix}

so wird Gzu einem ℤ-Modul.

(v) Ist 𝔞 ⊆ R ein Ideal, so ist R/𝔞 ein R-Modul vermöge der skalaren Multiplikation r · (a mod𝔞) := (r · a mod𝔞)für r,a ∈ R.

2.3. Definition. Es sei M ein R-Modul. Eine Teilmenge M′⊆ M heißt Untermodul von M, wenn M′ Untermoduln eine Untergruppe von M ist, die abgeschlossen bezüglich skalarer Multiplikation von M ist, d.h. für r ∈ R, m′∈ M′gilt r · m′∈ M′. (Ein Untermodul ist wieder ein R-Modul.)

2.4. Lemma (Untermodulkriterium). Es sei Mein R-Modul, dann ist eine Teilmenge M′von Mein Untermodul genau dann, wenn für alle m_{1},m_{2} ∈ M′,r ∈ Rgilt:

(i) m_{1}− m_{2} ∈ M′
(ii) r · m_{1} ∈ M′

Beweis. Analog zu Unterraumkriterium der linearen Algebra.

2.5. Definition (& Lemma). Es sei M ein R-Modul, und es sei M_{λ},λ ∈ Λ , eine Familie von Untermoduln von M.

Summe von Moduln (i) Die Summe ∑_{λ∈Λ} M_{λ} ist die Menge aller endlichen Summen ∑_{λ∈Λ′} m_{λ}, wobei Λ′⊆ Λ endlich ∑_{λ∈Λ} M_{λ} ist, und m_{λ} ∈ M_{λ} für alle λ ∈ Λ′ .

Die Summe ist der kleinste Untermodul von M, der alle M_{λ} enthält.

Durchschnitt von (ii) Der Durchschnitt ⋂ _{λ∈Λ} M_{λ} ist ein Untermodul.

Moduln ⋂ _{λ∈Λ} M_{λ}

Beweis. Siehe Übung.

Die Vereinigung zweier Untermoduln ist nicht notwendigerweise ein Untermodul. (Siehe Übung 9)

2.6. Definition. Es sei R ein Ring und M und N R-Moduln. Eine Abbildung φ: M → N heißt ein R-Modul-Homomorphismus oder R-linear, wenn für alle m_{1},m_{2} ∈ M,r ∈ Rgilt:

Modulhomomorphismus

R-linear (i) φ(m_{1}+ m_{2}) = φ(m_{1}) + φ(m_{2}) ,

(ii) φ(r · m_{1}) = r · φ(m_{1}).

Hom_{R}(M,N) Die Menge der R-linearen Abbildungen M → N wird mit Hom_{R}(M,N). Ein R-Modulisomorphismus ist ein bijektiver R-Modulhomomorphismus.

2.7. Bemerkung. (i) Ist R = K ein Körper, so ist ein R-Modulhomomorphismus dasselbe wie eine K-lineare Abbildung von K-Vektorräumen.

(ii) Ist 𝔞 ⊆ R ein Ideal, so ist der kanonische Epimorphismus π: R → R/𝔞 R-linear.

(iii) Sind M,N,PR-Moduln, und sind φ: M → N , ψ: N → P R-Modulhomomorphismen, so ist auch ψ ∘ φ: M → P ein R-Modulhomomorphismus.

(iv) Es seien M,N R-Moduln. Für φ,ψ ∈ Hom_{R}(M,N) und r ∈ R,m ∈ M setzen wir (φ + ψ)(m) := φ(m) + ψ(m) und (r · φ)(m) := r · φ(m). Damit ist eine Addition und skalare Multiplikation auf der Menge Hom_{R}(M,N)erklärt, die Hom_{R}(M,N)zu einem R-Modul macht.

(v) Ist M ein R-Modul, so heißen die Elemente von Hom_{R}(M,M)Endomorphismen von M. Durch

die Festlegung φ · ψ:= φ ∘ ψ für φ,ψ ∈ Hom_{R}(M,M) wird eine Multiplikation erklärt, die

Endomorphismenring Hom_{R}(M,M)zu einem Ring macht. Er wird Endomorphismenring von M genannt. Er hat als Hom_{R}(M,M) Einselement die identische Abbildung id_{M}: m ↦ m, ist aber im Allgemeinen nicht kommutativ.

(vi) Jeder R-Modulhomomorphismus φ: R → M ist eindeutig bestimmt durch φ(1_{R}), denn φ(r) = φ(1_{R}· r) = r · φ(1_{R}) . Dies liefert einen R-Modulhomomorphismus M →^{∼} Hom_{R}(R,M).

2.8. Lemma (& Definition). Es sei φ: M → N ein R-Modulhomomorphismus. Dann heißt

Kern Kernφ Kernφ:= {m ∈ M φ(m) = 0} der Kern von φ und Imφ:= {φ(m) m ∈ M} das Bild von φ.

Bild Imφ

Es ist Kernφ ein Untermodul von M, Imφ ein Untermodul von N. φ ist injektiv genau dann, wenn Kernφ = {0} .

Beweis. Folgt aus den Definitionen wie in der linearen Algebra.

2.9. Satz (& Definition). Es sei M′ ein Untermodul des R-Moduls M. Definiere für m ∈ M: m + M′:= m modM′:= {n ∈ M m − n ∈ M′} die Restklasse von mmodulo M′, Restklasse

m modM′= m + M′

\overline{M}:= \{m + M′ m ∈ M\} die Menge der Restklassen, π: M → \overline{M}, m ↦ m + M′ . Dann wird für m,n ∈ M, r ∈ R durch (m + M′) + (n + M′) := (m + n) + M′ und r · (m + M′) := (r · m) + M′ auf \overline{M} eine Addition und skalare Multiplikation erklärt, die \overline{M} zu einem R-Modul und π: M → \overline{M} zu einem surjektiven R-Modulhomomorphismus machen mit Kernπ = M′. \overline{M}heißt der Restklassenmodul von Mmodulo M′oder Faktormodul von Mnach M′. Schreibweise ist Restklassenmodul dann M/M′:= \overline{M}. Die Abbildung π heißt Restklassenhomomorphismus oder kanonischer Epimor- Restklassenphismus von M auf M/M′. homomorphismus π

Beweis. (1) Auf M wird durch m ∼ n:⇔ m − n ∈ M′ eine Äquivalenzrelation erklärt. Die Äquivalenzklasse, die menthält ist gerade m + M′. Deshalb ist die Abbildung π wohldefiniert.

(2) Die festgelegte Addition und skalare Multiplikation sind wohldefiniert und machen \overline{M} zu einem R-Modul; das Inverse von m + M′ bezüglich der Addition ist (−m) + M′, das Nullelement ist 0_{M}+ M′= M′ .

Dies ist die einzige R-Modulstruktur von \overline{M}, die π zu einem R-Modulhomomorphismus macht.

(3) Für m ∈ M ist π(m) = 0\overline{M} = 0_{M}+ M′= M′ genau dann, wenn m + M′= 0_{M}+ M′ , d.h. m ∈ M′.

Folglich ist Kernπ = M′.

2.10. Bemerkung. Untermoduln von M sind genau die Kerne von R-Modulhomomorphismen M → N .

2.11. Lemma (& Definition). Es sei φ: M → N ein R-Modulhomomorphismus, und es sei M′ ein Untermodul von M mit M′⊆ Kernφ . Dann wird durch \overline{m}:= m + M′↦ φ(m) ein R-Modulhomomorphismus \overline{φ} : M/M′→ N definiert. Dieser heißt durch φ induziert. Es gilt induzierter Modulho-Kern\overline{φ} = Kernφ/M′. momorphismus

Beweis. \overline{φ} ist wohldefiniert, denn aus \overline{n}= \overline{m} folgt m − n =: x ∈ M′ , also φ(m) = φ(n + x) = φ(n) + φ(x) = φ(n) , denn x ∈ Kernφ. \overline{φ} ist offenbar ein R-Modulhomomorphismus und \overline{φ}(\overline{m}) = 0 genau dann, wenn φ(m) = 0 , also Kern\overline{φ} = Kernφ/M′.

2.12. Satz (Homomorphiesatz). Es seien φ: M → N ein R-Modulhomomorphismus, M′ein Untermodul von M und π: M → M/M′ der kanonische Epimorphismus. Dann gilt:

(a) φ faktorisiert durch π, d.h., es gibt einen R-Modulhomomorphismus ψ: M/M′→ N mit

φ = ψ ∘ π .

[figure: M; N; M/M′; φ; π; ψ]

genau dann, wenn M′⊆ Kernφ . In diesem Fall ist ψ durch φ induziert und insbesondere eindeutig bestimmt.

(b) Imφ ≅ M/Kernφ.

Beweis. (a) “⇒ ” Angenommen, ψ: M/M′→ N existiert. Dann gilt für \overline{m}= m + M′∈ M/M′: φ(m) = ψ(π(m)) = ψ(\overline{m}) , d.h. ψ ist durch φ induziert. Weiterhin gilt ψ(\overline{m}) = 0 ⇔ φ(m) = 0 . Für m ∈ M′gilt aber φ(m) = ψ(π(m)) = ψ(0) = 0 , also M′⊆ Kernφ .

“⇐ ” Ist M′⊆ Kernφ , so folgt die Existenz von ψ aus (2.11).

(b) Im Fall M′= Kernφ , N = Imφ folgt die Existenz von ψ: M/Kernφ → Imφ . Offenbar ist ψ sur-

jektiv und Kernψ =^{(2.11)} Kernφ/Kernφ = \{\overline{0}\} , d.h. ψ ist ein Isomorphismus.

2.13. Folgerung. Sind P ⊆ N Untermoduln von M, so induziert der kanonische Epimorphismus π: M → M/N einen Isomorphismus (M/P)/(N/P) ≅ M/N .

Beweis. Wegen P ⊆ N = Kernπ haben wir nach dem Homomorphiesatz ein kommutatives Diagramm

[figure: M; M/N; M/P; π; ψ]

mit Kernψ = Kernπ/P = N/P . Mit π ist auch ψ surjektiv. Also folgt nach dem Homomorphiesatz M/N = Imψ ≅ (M/P)/Kernψ = (M/P)/(N/P).

2.14. Satz (Isomorphiesatz). Sind M_{1},M_{2}Untermoduln von M, so gilt (M_{1}+ M_{2})/M_{2} ≅ M_{1}/(M_{1}∩ M_{2}).

Beweis. Es sei φ die Komposition von M_{1} −→^{ϵ} M_{1}+ M_{2} −↠^{π} (M_{1}+ M_{2})/M_{2}, d.h. φ: M_{1} −→ M_{1}+ M_{2}/M_{2},m_{1} ⟼→ m_{1}+ M_{2} . φ ist surjektiv, denn die Elemente von (M_{1}+ M_{2})/M_{2} sind der Form m_{1}+ m_{2}+ M_{2} = m_{1}+ M_{2} , m_{1} ∈ M_{1}, m_{2} ∈ M_{2}. Es ist φ(m_{1}) = 0 genau dann, wenn m_{1} ∈ M_{2}, also folgt Kernφ = M_{1}∩ M_{2} . Somit ergibt sich die Behauptung aus dem Homomorphisatz.

2.15. Beispiel. (i) Es seien f,g ∈ R = K[X] teilerfremd. Dann gilt (f)/(f) ∩ (g) ≅ R/g , denn (f) + (g) = (ggT(f,g)) = (1) = R .

(ii) In ℤ gilt z.B. (3)/(15) ≅ ℤ/5ℤ.

(m) = R · m 2.16. Definition. Es sei M ein R-Modul. Ist m ∈ M, so ist (m) := R · m = {rm r ∈ R} ein Un-

termodul von M. Ist (m_{λ})_{λ∈Λ} eine Familie von Elementen m_{λ} ∈ M mit M = ∑_{λ∈Λ} R · m_{λ}, so heißt

Erzeugendensystem (m_{λ})_{λ∈Λ} ein Erzeugendensystem von M. Ist Λ endlich, dann heißt M endlich erzeugt. Man schreibt

endlich erzeugt

dann (m_{1},... ,m_{s}) := ∑ _{i=1}^{s} R · m_{i}.

unverkürzbar Ein unverkürzbares Erzeugendensystem ist ein Erzeugendensystem derart, daß keine echte Teilmenge Erzeugendensystem ein Erzeugendensystem ist.

Basis, Ein Erzeugendensystem B heißt Basis von M, wenn es linear unabhängigüber Rist, d.h. für je endlich linear unabhängig viele paarweise verschiedene Elemente m_{1},... ,m_{s} ∈ Bgilt: Ist 0 = ∑ _{i=1}^{s} r_{i}m_{i} mit r_{1},... ,r_{s} ∈ R, so

folgt r_{1} = ... = r_{s} = 0 .

2.17. Bemerkung. (i) Ist 𝔞 ⊆ R ein Ideal, so ist R/𝔞ein R-Modul mit unverkürzbarem Erzeugendensystem {1 mod𝔞}.

(ii) Ist R = K ein Körper, so ist jedes unverkürzbare Erzeugendensystem eine Basis. Ist R kein Körper, so sind minimale Erzeugendensysteme i.a. keine Basis.

Beispiel: R = K[X], 𝔞 = (X^{3}), dann ist X^{3} ≠ 0 in R, aber X^{3}(1 mod𝔞) = 0 in R/𝔞. R/𝔞hat keine Basis als R-Modul, denn für alle m ∈ R/𝔞ist X^{3}· m = 0.

Als R/𝔞-Modul hat R/𝔞die Basis {1_{R}mod𝔞}, denn aus (r mod𝔞) · (1 mod𝔞) = 0 in R/𝔞für r ∈ R folgt r ∈ 𝔞, d.h. r mod𝔞 = 0 in A.

Allgemein: Jeder Ring Ahat als A-Modul die Basis {1_{A}}.

(iii) Die Elementanzahl eines unverkürzbarer Erzeugendensysteme ist im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.

2.18. Definition. Es sei (M_{λ})_{λ∈Λ} eine Familie von R-Moduln. Dann ist direkte Summe

⨁ _{λ∈Λ} M_{λ}

⨁_{λ∈Λ} M_{λ} := {(m_{λ})_{λ∈Λ} m_{λ} ∈ M_{λ} für alle λ ∈ Λ und m_{λ} = 0 für fast alle λ }

mit der durch

(m_{λ})_{λ∈Λ} + (n_{λ})_{λ∈Λ} := (m_{λ} + n_{λ})_{λ∈Λ} definierten Addition und der durch

r(m_{λ})_{λ∈Λ} := (r · m_{λ})_{λ∈Λ} definierten Skalarmultiplikation ein R-Modul, der die direkte Summe von (M_{λ})_{λ∈Λ} genannt wird. Ist M_{λ} = R für alle λ ∈ Λ , so schreibt man R^{(Λ)} := ⨁ _{λ∈Λ} M_{λ}. Hat Λ n < ∞ viele Elemente, so schreibt R^{(Λ)}, R^{n} man R^{n}statt R^{(Λ)}. Man setzt R^{0} := {0_{R}}. Ein R-Modul heißt frei, wenn er isomorph zu einem R-Modul der Form R^{(Λ)} ist. freie Moduln

2.19. Bemerkung. (i) Die Elemente von R^{n}sind n-Tupel (r_{1},... ,r_{n}) mit r_{i} ∈ R.

(ii) Jeder freie R-Modul R^{(Λ)} besitzt die kanonische Basis (e_{λ})_{λ∈Λ} mit e_{λ} = (δ_{μλ})_{μ∈Λ} .

2.20. Satz. Es sei M ein R-Modul. Dann gilt

(a) Mist endlich erzeugt genau dann, wenn Misomorph zu einem Faktormodul eines endlich erzeugten freien Moduls ist.

(b) M ist frei genau dann, wenn M eine Basis hat. frei ↔ Basis

Beweis. (a) “⇒ ”  Es  sei  M = (m_{1},... ,m_{s}).  Dann  ist  die  Abbildung

φ: R^{s} → M,(r_{1},... ,r_{s}) ↦ r_{1}m_{1}+ ...+ r_{s}m_{s} ein surjektiver Homomorphismus, also M = Imφ ≅ R^{s}/Kernφ nach Homomorphiesatz.

“⇐ ” Nach Voraussetzung haben wir R-Modulhomomorphismen R^{s} →^{π} R^{s}/N →^{∼}^{ψ} M, wobei ψ ein Isomorphismus ist. Da π surjektiv ist, ist auch φ:= ψ ∘ π surjektiv. Ist {e_{1},... ,e_{s}} eine Basis von R^{s}, so ist {φ(e_{1}),... ,φ(e_{s})} ein Erzeugendensystem von M. (Denn m = φ(∑ r_{i}e_{i}) = ∑ r_{i}φ(e_{i}) ).

(b) Die Abbildung φ im ersten Teil des Beweises von (a) ist injektiv (also ein Isomorphismus) genau dann, wenn {m_{1},... ,m_{s}}linear unabhängig ist.

2.21. Beispiel. Es sei R = K[x,y,z]. Dann ist M = ((x,y),(y,z)) ⊆ R^{2} ein Untermodul des R^{2}. Folglich ist R^{2}/Mein R-Modul, der durch die Restklassen \overline{e}_{1},\overline{e}_{2} von (1,0) bzw. (0,1) erzeugt wird. Die Elemente von R^{2}/Msind von der Form

(r_{1},r_{2}) + M = r_{1}(1,0) + r_{2}(0,1) + M = r_{1}[(1,0) + M] + r_{2}[(0,1) + M] = r_{1}\overline{e}_{1}+ r_{2}\overline{e}_{2}.

2.22. Definition. Es sei F ein endlich erzeugter freier R-Modul. Dann heißt die Anzahl der Elemente

Rang einer (jeder) Basis von F der Rang von F. Er ist wohldefiniert nach Übung 15. [Tip: Zurückführen auf Situation bei Vektorräumen.] Ist R = K ein Körper, so ist der Rang von F gerade die Vektorraumdimension.

2.23. Definition. Sei M ein R-Modul.

𝔞 · M (i) Ist 𝔞 ⊆ R ein Ideal, so ist das Produkt

𝔞 · M := { ∑_{i=1}^{s} a_{i}m_{i} s ∈ ℕ,a_{i} ∈ 𝔞,m_{i} ∈ M }

ein Untermodul von M.

(ii) Ist N ein Untermodul von M, so ist

N : M := N :_{R}M := {r ∈ R r · M ⊆ N}

Quotientenideal N : M ein Ideal von R, genannt Quotientenideal.

Annulator Ann_{R}M (iii) Das Ideal 0 :_{R}M = {r ∈ R r · M = 0} heißt der Annulator von M. Bezeichnung Ann_{R}M.

2.24. Beispiel. (i) Ann_{R}(R) = (0_{R}), denn r1_{R}= 0_{R} genau dann, wenn r = 0_{R}. Ist F ein freier R-Modul, so ist Ann_{R}(F) = (0_{R}).

(ii) Ann_{R}(R/𝔞) = 𝔞.

(iii) Der Modul R^{2}/Maus Beispiel (2.21) ist nicht frei, denn:

(xz − y^{2})(1,0) = z(x,y) + (−y)(y,z) ∈ M und

(xz − y^{2})(0,1) = (−y)(x,y) + x(y,z) ∈ M,

also 0 ≠ xz − y^{2} = det( \begin{matrix}x & y \\ y & z \end{matrix}) ∈ Ann_{R}(R^{2}/M) .

2.25. Lemma. Es sei M ein R-Modul, und es sei 𝔞 ⊆ Ann_{R}(M) ein Ideal. Dann besitzt M auch eine (R/𝔞)-Modulstruktur.

Beweis. Wir übernehmen die Addition von M als R-Modul, aber wir definieren eine neue skalare Multiplikation durch

\overline{r}· m:= (r + 𝔞) · m:= rm für r ∈ R, m ∈ M. Dies ist unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten r der Restklasse r + 𝔞 , da a · M = 0, also wohldefiniert und leistet das Gewünschte.

2.26. Beispiel. (i) Ist 𝔞 ein Ideal von R, so ist R/𝔞 auch ein R/𝔟-Modul für jedes Ideal 𝔟 mit 𝔟 ⊆ Ann_{R}(R/𝔞) = 𝔞 .

(ii) Ist M ein R-Modul und ist 𝔞 ⊆ R ein Ideal, so ist M/𝔞M ein R/𝔞-Modul, denn 𝔞 ⊆ Ann_{R}(M/𝔞M).

μ_{R}(M) 2.27. Definition. Es sei Mein endlich erzeugter R-Modul. Dann bezeichnen wir mit μ(M) := μ_{R}(M)

die minimale Anzahl der Elemente eines Erzeugendensystems von M als R-Modul.

minimale Ein Erzeugendensystem mit μ(M)Elementen heißt ein minimales Erzeugendensystem.

Erzeugendensysteme

Ist R = K ein Körper, also M ein endlich erzeugter K-Vektorraum, so ist ein Erzeugendensystem von M unverkürzbar genau dann, wenn es minimal ist, genau dann, wenn es eine Basis ist. Dann ist μ(M) = dim_{K}(M).

Ist R kein Körper, so müssen unverkürzbare Erzeugendensysteme, nicht minimal sein. Betrachte (1 − x,x) = (1) = K[x] . Wir wollen nun sehen, daß die Situation über lokalen Ringen besser ist.

2.28. Definition. Ist Rein Ring, so nennt man den Durchschnitt Rad(R)aller maximalen Ideale von Rdas Jacobson-Radikal von R. Rad(R)ist ein Ideal von R. Jacobson-Radikal

Rad(R)

2.29. Beispiel. (i) Rad(K[x_{1},... ,x_{n}]) = (0).

(ii) Ist (R,𝔪)ein lokaler Ring mit dem (einzigen) maximalen Ideal 𝔪, so ist Rad(R) = 𝔪.

2.30. Lemma. Für ein Element a eines Ringes Rsind äquivalent:

(a) a ∈ Rad(R),

(b) 1 − ab ∈ R^{×} für alle b ∈ R.

Beweis. (a)⇒ (b): Ist 1 − ab ∉ R^{×} , also (1 − ab)R ≠ R, so gibt es ein maximales Ideal 𝔪 vom R mit 1 − ab ∈ 𝔪 . Wegen a ∈ Rad(R) ⊆ 𝔪 ist auch ab ∈ 𝔪, folglich 1 = (1 − ab) + (ab) ∈ 𝔪 ≠ R , Widerspruch. (b)⇒ (a): Antithese: Es sei 𝔪 ein maximales Ideal von R mit a ∉ 𝔪. Dann ist aR + 𝔪 = R , also ab + r = 1 für geeignete b ∈ R, r ∈ 𝔪. Daher ist 1 − ab = r ∈ 𝔪 keine Einheit, Widerspruch.

2.31. Bemerkung. Ist (R,𝔪)ein lokaler Ring, so ist R^{×} = R\𝔪.

Beweis. Es ist klar, daß 𝔪 ⊈ R^{×} , also R^{×} ⊆ R\𝔪. Ist umgekehrt a ∈ R\𝔪, aber a ∉ R^{×}, also aR ≠ R, so muß a im einzigen maximalen Ideal enthalten sein, also a ∈ 𝔪, Widerspruch.

2.32. Lemma (Lemma von Nakayama (1912-1964)). Ist M ein endlich erzeugter R-Modul und 𝔞 ⊆ R ein Ideal mit 𝔞 ⊆ Rad(R), so folgt aus 𝔞M = M schon M = 0.

Beweis. Nach Voraussetzung besitzt M ein minimales Erzeugendensystem {m_{1},... ,m_{s}}. Antithese: s > 0 . Wegen 𝔞M = M gibt es dann eine Gleichung m_{s} = ∑ _{i=1}^{s} a_{i}m_{i} mit a_{i} ∈ 𝔞, also (1 − a_{s})m_{s} = ∑ _{i=1}^{s−1} a_{i}m_{i} . Wegen a_{s} ∈ 𝔞 ⊆ Rad(R) ist 1 − a_{s} eine Einheit (nach 2.30), also m_{s} ∈ Rm_{1}+ ...+ Rm_{s−1} im Widerspruch zur vorausgesetzten Minimalität von {m_{1},... ,m_{s}}.

2.33. Folgerung. Ist (R,𝔪) ein lokaler Ring, K := R/𝔪 und M ein endlich erzeugter R-Modul, so sind für Elemente m_{1},... ,m_{s}äquivalent:

(a) M = Rm_{1}+ ...+ Rm_{s} ,

(b) die Restklassen \overline{m}_{1},... ,\overline{m}_{s} ∈ M/𝔪M der m_{i} ∈ M bilden ein Erzeugendensystem des K-Vektorraumes M/𝔪.

Beweis. (a)⇒ (b) klar. (b)⇒ (a) Aus M/𝔪M = Km_{1}+ ...+ Km_{s} folgt für N := Rm_{1}+ ...+ Rm_{s} aber M = N + 𝔪M , also M/N = 𝔪 · (M/N). [da (M/N)/𝔪(M/N) = (M/N)/((N + 𝔪M)/N) ≅ M/(N + 𝔪M) = 0] Aus dem Nakayama-Lemma folgt nun M/N = 0, also M = N.

2.34. Folgerung. Unter den Voraussetzungen von (2.33) gelten:

(a) μ(M) = dim_{K}(M/𝔪M),

8  Vorläufige Version  2 Moduln

(b) \{m_{1},... ,m_{s}\}⊆ M ist ein minimales Erzeugendensystem von M genau dann, wenn \{\overline{m}_{1},... ,\overline{m}_{s}\} eine K-Basis von M/𝔪Mist.

(c) (Auswahlsatz) Jedes Erzeugendensystem von Menthält ein minimales Erzeugendensystem. Jedes unverkürzbare Erzeugendensystem ist minimal.

(d) (Ergänzungssatz) Elemente m_{1},... ,m_{s} ∈ Mlassen sich zu einem minimalen Erzeugendensystem ergänzen genau dann, wenn ihre Restklassen \overline{m}_{1},... ,\overline{m}_{s} ∈ M/𝔪M linear unabhängigüber Ksind.