3 Noethersche Moduln

Diese Strukturen wurden 1921 von Emmy Noether eingeführt und untersucht. Sie gestatten Endlichkeitsaussagen.

3.1. Definition. Ein R-Modul Mheißt noethersch, wenn jeder Untermodul von M, also insbesondere M selbst, endlich erzeugt ist.

3.2. Beispiel. Es sei Rein noetherscher Ring. Dann ist Rein noetherscher R-Modul, denn die Untermoduln von Rsind Ideale von R, also endlich erzeugt.

3.3. Satz. Für einen R-Modul M sind äquivalent:

(a) M ist noethersch,

(b) Jede aufsteigende Kette von Untermoduln M_{1} ⊆ M_{2} ⊆ ... von M wird stationär,

(c) Jede nichtleere Menge von Untermoduln von M enthält ein “⊆ ”-maximales Element

Beweis. Analog zu Satz (I.6.1).

Wir wollen nun weitere noethersche Moduln konstruieren. In diesem Zusammenhang führen wir einige Begriffe ein, die eine Formalisierung von Standardschlußweisen gestatten (“Diagramm-Kalkül”).

3.4. Definition. (i) Eine Folge/Sequenz von R-Moduln und R-Modulhomomorphismen

...M_{k−1} −→^{φ_{k−1}} M_{k} −→^{φ_{k}} M_{k+1} −→ ...

keißt ein Komplex, wenn für alle k ∈ ℤ gilt φ_{k}∘ φ_{k−1} = 0 . Komplexe

Die Sequenz heißt exakt in M_{k}, wenn Imφ_{k−1} = Kernφ_{k} . Sie heißt exakte Sequenz, wenn sie in exakte Sequenzen allen M_{k}, k ∈ ℤ, exakt ist.

Eine exakte Sequenz der Form

0 −→ M′−→ M −→ M′′−→ 0 heißt kurze exakte Sequenz

kurze exakte Sequenzen

(ii) Ist φ: M → N ein Homomorphismus von R-Moduln, so heißt N/Imφ der Kokern von N. Sym-

Kokern Cokernφ

bol Cokernφ.

3.5. Bemerkung. (i) Es gilt 0 −→ M′ −→^{φ} M ist exakt genau dann, wenn φ injektiv ist. M −→^{ψ} M′′−→ 0 ist exakt genau dann, wenn ψ surjektiv ist.

(ii) Ein Homomorphismus φ: M → N von R-Moduln ist surjektiv genau dann, wenn Cokernφ = 0 .

(iii) Ist M′ein Untermodul von M, so ist die Sequenz

0 −→ M′ −→^{ϵ} M −→^{π} M/M′−→ 0

exakt, wobei ϵ die Einbettung und π der kanonische Epimorphismus ist. Es ist

Cokernϵ = M/M′. Dies ist das “Muster” jeder kurzen exakten Sequenz.

3.6. Lemma. Eine Sequenz von R-Moduln (und R-Modulhomomorphismen)

0 −→ M′ −→^{φ} M −→^{ψ} M′′−→ 0

ist exakt genau dann, wenn φ ist injektiv, ψ ist surjektiv und ψ induziert einen Isomorphismus Cokernφ ≅ M′′.

Beweis. “⇒ ” Die ersten beiden Aussagen sind klar nach (3.5). Wegen Kernψ = Imφ gibt es nach dem Homomorphiesatz ein komm. Diagramm

[figure: M; M′′; M/Imφ; ψ; π; α]

wobei α durch ψ induziert ist und Kernα = Kernψ/Imψ = 0 . Da mit ψ auch α surjektiv ist, ist α ein Isomorphismus. “⇐ ” Da ψ einen Isomorphismus α: M/Imφ −→ M′′ induziert folgt nach dem Homomorphiesatz Imφ ⊆ Kernψ und 0 = Kernα = Kernψ/Imφ , also Kernψ = Imφ . Der Rest ist klar.

3.7. Satz. Es sei

0 −→ M′ −→^{φ} M −→^{ψ} M′′−→ 0

eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln. Dann ist M noethersch genau dann, wenn M’ und M” noethersch sind.

Beweis. “⇒ ” Ist M′′ ; 1⊂ M′′ ; 2⊂ ... eine aufsteigende Kette von Untermoduln von M′′, so ist ψ^{−1} (M′′ ; 1) ⊂ ψ^{−1} (M′′ ; 2) ⊂ ... (als Urbild) eine aufsteigende Kette von Untermoduln von M. Diese wird stationär, also auch die ursprüngliche Kette, denn ψ(ψ^{−1} (M′′ ; i)) = M′′ ; i , da ψ surjektiv ist. Also ist M′′ noethersch. Analog induziert jede aufsteigende Kette von Untermoduln von M′eine aufsteigende Kette von Untermoduln von M, wird also stationär. Also ist M′noethersch. “⇐ ” Es sei M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ ... eine aufsteigende Kette von Untermoduln von M. Dann sind φ^{−1} (M_{1}) ⊂ φ^{−1} (M_{2}) ⊂ ... und ψ(M_{1}) ⊂ ψ(M_{2}) ⊂ ... aufsteigende Ketten in M′bzw. M′′. Diese werden stationär. Daher wird auch die ursprüngliche Kette stationär, denn aus φ^{−1} (M_{i}) = φ^{−1} (M_{i+1} ) und ψ(M_{i}) = ψ(M_{i+1} ) folgt M_{i} = M_{i+1} . Sei dazu m ∈ M_{i+1} . Zu zeigen: m ∈ M_{i}. Fall 1: Es sei m ∈ Imφ, d.h. es gibt ein m′∈ M′mit φ(m′) = m. Also m′∈ φ^{−1} (M_{i+1} ) = φ^{−1} (M_{i}) , daher m = φ(m′) ∈ M_{i} . Fall 2: Sei m ∈ M_{i+1} beliebig. Es ist ψ(m) ∈ ψ(M_{i+1} ) = ψ(M_{i}) , also gibt es ein n ∈ M_{i} mit ψ(n) = ψ(m) , d.h. m − n ∈ Kernψ = Imφ . Nach Fall 1 ist also n − m ∈ M_{i}, somit m ∈ M_{i}.

3.8. Folgerung. (i) Unter- und Faktormoduln eines noetherschen Moduls sind noethersch.

(ii) Ist M noethersch und N ein zu M isomorpher Modul, so ist auch N noethersch.

3.9. Folgerung. Sind M_{1},... ,M_{s}, s ∈ ℕ, noethersche R-Moduln, so ist auch ihre direkte Summe ⨁ _{i=1}^{s} M_{s} noethersch.

Beweis. Betrachte die Sequenz

0 −→ M_{s} −→^{m_{s}↦(0,...,0,m_{s})}⨁_{i=1}^{s} M_{i} −→^{(m_{1},...,m_{s})↦(m_{1},...,m_{s−1} )}⨁_{i=1}^{s−1} M_{i} −→ 0.

Diese ist offenbar exakt, so daß die Behauptung aus (3.7) per Induktion über s folgt.

3.10. Satz. Endlich erzeugte Moduln über noetherschen Ringen sind noethersch.

Beweis. Es sei R ein noetherscher Ring, und es sei M ein R-Modul mit Erzeugendensystem {m_{1},... ,m_{s}}. Nach (2.20) ist Misomorph zu einem Faktormodul eines endlich erzeugten freien Moduls F. Hat F den Rang r, so ist F ≅ R^{r}. Nach (3.9) ist F noethersch, somit auch M (nach 3.8).

3.11. Notation. Ein Diagramm

kommutative Diagramme

[figure: M; N; P; α; β; γ]

von R-Modulhomomorphismen heißt kommutativ, wenn α = γ ∘ β , was gelegentlich durch einen Kringel bezeichnet wird.

3.12. Bemerkung (& Notation). (i) Es sei A ∈ R^{p×q} eine Matrix über dem Ring R. Dann ist die

Abbildung

φ_{A}: R^{q} −→ R^{p} (r_{1},... ,r_{q})^{t} ↦ A(r_{1},... ,r_{q})^{t} ein R-Modulhomomorphismus. Wir setzen KernA, ImA, CokernA

KernA:= Kernφ_{A}, ImA:= Imφ_{A}, CokernA:= Cokernφ_{A}.

(ii) Es sei φ: F −→ G ein R-Modulhomomorphismus zwischen freien Moduln vom Rang q bzw. p. Es seien {f_{1},... ,f_{q}} ,{g_{1},... ,g_{p}} Basen von F bzw. G. Dann gibt es a_{ij} ∈ R derart, daß gilt

φ(f_{j}) = ∑_{i=1}^{p} a_{ij}g_{i}, i = 1,... ,q.

Dann heißt die Matrix A = (a_{ij}) ∈ R^{p×q} die Koordinatenmatrix von φ bezüglich der gewählten Koordinatenmatrix Basen. Das folgende Diagramm ist kommutativ:

[figure: s_{1}f_{1}+ ...+ s_{q}f_{q}; F; G; r_{1}g_{1}+ ...+ r_{p}g_{p}; (s_{1},... ,s_{q})^{t}; R^{q}; R^{p}; (r_{1},... ,r_{p})^{t}; φ; A; ≅; ≅]

3.13. Satz. Es sei M ein endlich erzeugter Modul über dem noetherschen Ring R. dann hat M eine Präsentationsmatrix, d.h. es existiert eine Matrix A ∈ R^{p×q} derart, daß CokernA ≅ M. Präsentationsmatrix Mit anderen Worten: Es gibt eine exakte Sequenz

R^{q} −→^{A} R^{p} −→ M −→ 0.

Je zwei Präsentationsmatrizen von M gleichen Formats sind äquivalent, falls R ein lokaler Ring ist.

Beweis. Es sei {m_{1},... ,m_{p}}ein Erzeugendensystem von M. Dann ist die Abbildung

φ: R^{p} −→ M, (r_{1},... ,r_{p})^{t} ⟼→ r_{1}g_{1}+ ...+ r_{p}g_{p} surjektiv. Als Untermodul von R^{p} ist Kernφ endlich erzeugt. Folglich gibt es einen Epimorphismus ψ: R^{q} −→ Kernφ . Betrachte das Diagramm mit der Einbettung ϵund α:= ϵ ∘ ψ :

[figure: R^{q}; R^{p}; M; 0; Kernφ; 0; ψ; α; φ; ϵ]

Dann gilt Cokernα = R^{p}/Imα = R^{p}/Kernφ = Cokernϵ ≅ M (3.6). Die Behauptung folgt dann also, wenn wir Aals eine Koordinatenmatrix von α wählen. Die zweite Behauptung ist Übungsaufgabe 16.

3.14. Definition. Eine exakte Sequenz von R-Moduln

... −→ F_{1} −→ F_{0} −→ M −→ 0, in der F_{0},F_{1},...endlich erzeugte freie R-Moduln sind, heißt freie Auflösung des R-Moduls M. Sie heißt endliche freie Auflösung, falls es ein v ∈ ℕ gibt mit F_{i} = 0 für i > v. In diesem Fall heißt vdie Länge der Auflösung.

3.15. Satz. Jeder endlich erzeugte Modul M über einem Noetherschen Ring R besitzt eine freie Auflösung.

Beweis. Wir iterieren das Argument aus (3.13): Es sei F_{l} −→ F_{l−1} −→ ... −→ F_{1} −→ F_{0} −→ M −→ 0 eine schon gefundene exakte Sequenz, in der F_{0},... ,F_{l}freie R-Moduln sind. (Existenz für l = 0,1 klar nach (3.13)) Als Untermodul des Noetherschen Moduls F_{l} ist Kernφ_{l} endlich erzeugt, also gibt es (2.20) einen Epimorphismus α: F_{l+1} −↠ Kernφ_{l}, in der F_{l+1} ein freier R-Modul ist. Setze φ_{l+1} := ϵ ∘ α . Dann ist die Sequenz

[figure: F_{l+1}; F_{l}; F_{l−1}; ...; F_{0}; M; 0; Kernφ_{l}; 0; 0; φ_{l+1}; α; φ_{l}; ϵ]

exakt nach Konstruktion.

3.16. Beispiel. (i) Sei R = K[x,y]und M = R/(x,y).

[figure: Kernφ_{2} = 0; R; R^{2}; R; R/(x,y); 0; Kernφ_{1} = R(−y,x)^{t}; (x,y); 0; 0; 0; φ_{2}, (−y,x)^{t}; φ_{1},(x,y)]

Es ist (r_{1},r_{2})^{t} ∈ Kernφ_{1} genau dann, wenn 0 = (x,y) = (r_{1},r_{2})^{t} = r_{1}x + r_{2}y = 0 , also r_{1}x = −r_{2}y . Folglich gibt es ein r ∈ R mit r_{1} = r(−y) und nach Kürzen r_{2} = rx, d.h. (r_{1},r_{2})^{t} ∈ Kernφ_{1} genau dann, wenn (r_{1},r_{2})^{t} = (r(−y),rx)^{t} = r(−y,x)^{t} .

(ii) Betrachte M = R/(x,y)^{2}

[figure: Kernφ_{2} = 0; R^{2}; R^{3}; R; R/(x,y)^{2} −→ 0; Kernφ_{1} = R( \begin{matrix}−y \\ x \\ 0 \end{matrix}) + R( \begin{matrix}0 \\ −y \\ x \end{matrix}); (x^{2},xy,y^{2}); 0; 0; 0; φ_{2}, ( \begin{matrix}−y & 0 \\ x & −y \\ 0 & x \end{matrix}); φ_{1},(x^{2},xy,y^{2})]

Ist (r_{1},r_{2})^{t} ∈ Kernφ_{2} , so folgt 0 = r_{1}(−y) + r_{2}· 0 = −r_{1}y , also r_{1} = 0 und 0 = r_{1}0 + r_{2}x = r_{2}x , also r_{2} = 0 , d.h. Kernφ_{2} = {(0,0)^{t}} .

Im allgemeinen sind freie Auflösungen nicht endlich. Über Polynomringen gilt aber folgender

3.17. Satz (Hilbertscher Syzygiensatz). Ist Mein endlich erzeugter Modulüber einem Polynomring R, so besitzt M eine freie Auflösung der Länge ≤ dimR. Ohne Beweis.

Für die Betrachtung kommutativer Diagramme ist oft nützlich:

3.18. Lemma (Schlangenlemma). Es sei

[figure: 0; M′; M; M′′; 0; 0; N′; N; N′′; 0; α; φ′; β; φ; φ′′; γ; δ]

ein kommutatives Diagramm. Dies induziert eine exakte Sequenz

0 −→ Kernφ′−→ Kernφ −→ Kernφ′′ −→^{σ} Cokernφ′−→ Cokernφ −→ Cokernφ′′−→ 0 wobei σ durch γ^{−1} ∘ φ ∘ β^{−1} “induziert” wird (β^{−1} ist keine Abbildung). Die Abbildung σ heißt Verbindungshomomorphismus.

Beweis. (i) Konstruktion von σ: Es sei m′′∈ Kernφ′′. Da β surjektiv ist, gibt es ein m ∈ M mit β(m) = m′′. Die Kommutativität liefert δ(φ(m)) = φ′′(β(m)) = φ′′(m′′) = 0, also φ(m) ∈ Kernδ = Imγ . Setze σ(m′′) := γ^{−1} (φ(m)) + Imφ′∈ Cokernφ′ .

(ii) Wohldefiniertheit von σ: Dazu sei m̃∈ M mit β(m̃) = m′′. Zu zeigen: γ^{−1} (φ(m̃)) − γ^{−1} (φ(m)) ∈ Imφ′ . Es ist 0 = β(m̃) − β(m) = β(m̃− m) , also ist m̃− m ∈ Kernβ = Imα , daher m̃− m = α(m′) für ein m′∈ M′. Es folgt

γ^{−1} (φ(m̃)) − γ^{−1} (φ(m)) = γ^{−1} (φ(m̃− m) = γ^{−1} (φ(α(m′))) =^{komm.}γ^{−1} (γ(φ′(m′))) = φ′(m′) ∈ Imφ′.

(iii) Die anderen Abbildungen in der Sequenz sind durch α,β,γ bzw. δ induziert. Die Exaktheit rechnet man nach.