4 Assoziierte Primideale, Primärzerlegungen

Assoziierte Primideale eines Moduls tragen wichtige Informationen über den Modul.

4.1. Definition. Es sei M ein R-Modul.

(i) Die Menge Spec(R)der Primideale ≠ R von Rheißt das Spektrum von R. Spektrum Spec(R)

(ii) Ein Primideal 𝔭 ∈ Spec(R) heißt assoziiertes Primideal von M, wenn es ein m ∈ M gibt, so daß assoziierte Primideale 𝔭 = Annm:= Ann_{R}(Rm). Ass_{R}(M)

Die Menge der assoziierten Primideale von M wird mit Ass_{R}M bzw. AssM bezeichnet.

(iii) Ist 𝔞 ⊆ R ein Ideal, so heißen die assoziierten Primideale in Ass_{R}(R/𝔞)die Primteiler von 𝔞. Primteiler

(iv) Ein Element r ∈ R heißt Nullteiler von M, wenn es ein m ∈ M\{0_{M}} gibt mit rm = 0, andern- (Nicht-)Nullteiler falls Nichtnullteiler bzw. M-regulär.

(0_{R} ist ein Nullteiler, falls M ≠ 0.)

4.2. Beispiel. Es sei R = K[x,y,z] der Polynomring in drei Variablen, 𝔞 = (x^{2}y) und \overline{R}= R/𝔞 = R/(x^{2}y)R.

(i) Dann ist xyein Nullteiler von \overline{R}, denn \overline{x}:= x + 𝔞 ≠ 0\overline{R}= \overline{0} , aber xy · \overline{x}= \overline{x^{2}y}= 0.

(ii) Für \overline{xy}= xy + 𝔞 gilt Ann_{R}(\overline{xy}) = x · R, denn aus f ∈ Ann_{R}(\overline{xy}) folgt \overline{0} = f(\overline{xy}) = \overline{fxy} , also fxy ∈ 𝔞 = x^{2}yR. Da R faktorieller Ring und x,y Primelemente von R sind, folgt x f, also f ∈ x · R. Dies zeigt Ann_{R}(\overline{xy}) ⊆ xR, aber die umgekehrte Inklusion ist klar.

(iii) Da xein Primelement ist, ist xRein Primideal von R, also ist (x) = xR ∈ Ass_{R}(\overline{R}).

(iv) Analog ergibt sich Ann_{R}(\overline{x^{2}}) = yR = (y) ∈ Ass_{R}(R/𝔞) . Somit sind (x) und (y) Primteiler von 𝔞 = (x^{2}y) = (x^{2}) ∩ (y).

(v) zist \overline{R}-regulär, denn für \overline{f} := f + 𝔞 ∈ \overline{R} folgt aus \overline{0} = z\overline{f} = \overline{zf} , also zf ∈ 𝔞 = (x^{2}y) , somit x^{2}y f, daher \overline{f} = 0 .

4.3. Satz. Es sei Rein noetherscher Ring, und es sei M ≠ 0 ein R-Modul. Dann gilt:

(a) Jedes maximale Element der Familie von Idealen

F := {Ann_{R}(m)|m ∈ M\{0}} ist ein assoziiertes Primideal von M. Insbesondere ist Ass_{R}(M) ≠ 0.

(b) Die Menge aller Nullteiler von M ist die Vereinigung aller assoziierter Primideale von M.

Beweis. (a) Es sei Ann_{R}(m) ∈ F ein maximales Element von F. Zu zeigen: Ann_{R}(m)ist ein Primideal.

Dazu seien a,b ∈ R mit a · b ∈ Ann_{R}(m) und b ∉ Ann_{R}(m). D.h. abm = 0, aber bm ≠ 0. Wegen Ann_{R}(m) ⊆ Ann_{R}(bm) folgt aus der Maximalität die Gleichheit, also insbesondere a ∈ Ann_{R}(bm) = Ann_{R}(m).

Da Rnoethersch ist, enthält F maximale Elemente, somit ist Ass_{R}(M) ≠ 0.

(b) Ist am = 0 für a ∈ R und m ∈ M\{0}, so ist a ∈ Ann_{R}(m) ∈ F . Nach (a) existiert ein 𝔭 ∈ Ass_{R}(M) mit Ann_{R}(m) ⊆ 𝔭.

4.4. Lemma. Ist M ein R-Modul und m ∈ M, so gilt für den Untermodul Rmvon M:

Rm ≅ R/Ann_{R}(m) als Untermoduln.

Beweis. Durch a ⟼→ am wird ein Epimorphismus φ: R −→ Rm definiert. Offenbar ist Kernφ = Ann_{R}(m) . Somit liefert der Homomorphiesatz die Behauptung.

4.5. Lemma. Es sei N ≠ 0 ein Untermodul des R-Moduls M. Gibt es ein Primideal 𝔭 von R mit N ≅ R/𝔭(als R-Modul), so gilt Ann_{R}(n) = 𝔭 für alle n ∈ N\{0} und insbesondere 𝔭 ∈ Ass_{R}(M).

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es einen Isomorphismus φ: R/𝔭 −→ N . Es sei m:= φ(1_{R/𝔭}) . Dann folgt N = Rm und Ann_{R}(m) = 𝔭. Zu jedem n ∈ N\{0} gibt es ein a ∈ R mit n = a · m. Somit ist 𝔭 = Ann_{R}(m) ⊆ Ann_{R}(n) . Gäbe es ein b ∈ Ann_{R}(n)\𝔭, so folgte abm = 0, aber bm ≠ 0, somit wegen ab ∈ 𝔭 und b ∉ 𝔭aber a ∈ 𝔭, d.h. n = am = 0 , im Widerspruch zu n ≠ 0 .

4.6. Satz. Es sei

0 −→ M′ −→^{φ} M −→^{ψ} M′′−→ 0

eine kurze exakte Sequenz. Dann gilt AssM′⊆ AssM ⊆ AssM′∪ AssM′′.

Beweis. Die erste Inklusion ist klar wegen Lemma (4.5). Wir zeigen nun die zweite: Es sei 𝔭 ∈ AssM. Somit gibt es ein m ∈ M mit 𝔭 = Ann_{R}(m) und für N = Rm gilt N ≅ R/𝔭 (nach (4.4)). Ist φ(M′) ∩ N ≠ 0 , so gibt es ein m′∈ M′ mit n:= φ(m′) ∈ N\{0} . Nach (4.5) folgt 𝔭 = Ann_{R}(n) = Ann_{R}(m′) , also 𝔭 ∈ AssM′ Ist φ(M′) ∩ N = 0 , d.h. Kernψ ∩ N = 0 , so folgt aus dem Homomorphiesatz ψ(N) ≅ N/Kernψ ∩ N = N ≅ R/𝔭 . Wegen (4.5) ergibt sich also 𝔭 ∈ AssM′′.

4.7. Lemma. Es sei Mein endlich erzeugter Modul über dem noetherschen Ring Rmit M ≠ 0. Dann gibt es eine Kette von Untermoduln 0 = M_{0} ⊊ M_{1} ⊊ M_{2} ⊊ ... ⊊ M_{n} = M derart, daß für i = 1,... ,n gilt M_{i}/M_{i−1} ≅ R/𝔭für ein 𝔭 ∈ Spec(R).

Beweis. Wir wählen ein 𝔭_{1} ∈ Ass_{R}(M). Dann gibt es einen Untermodul M_{1} von M mit M_{1} ≅ R/𝔭_{1}, denn 𝔭_{1} = Ann_{R}(m), also ist Rm ≅ R/𝔭_{1}. Ist M ≠ M_{1}, so wählen wir ein 𝔭_{2} ∈ Ass_{R}(M/M_{1}). Dann existiert ein Untermodul M_{2} von M mit M_{2}/M_{1} ≅ R/𝔭_{2}. Auf diese Weise kann man jede Kette 0 = M_{0} ⊊ M_{1} ⊊ M_{2} ⊊ ... ⊊ M_{k} mit M_{i}/M_{i−1} ≅ R/𝔭_{i}durch einen Modul M_{k+1} “verlängern”, falls M_{k} ≠ M. Da M noethersch ist, wird jede aufsteigende Kette stationär. Daraus folgt die Behauptung.

4.8. Satz. Ist M ein endlich erzeugter Modul über dem noetherschen Ring R, so ist die Menge Ass_{R}(M)endlich.

Beweis. Sei 0 = M_{0} ⊊ M_{1} ⊊ M_{2} ⊊ ... ⊊ M_{n} = M eine Kette von Untermoduln mit M_{i}/M_{i−1} ≅ R/𝔭_{i}, 𝔭_{i} ∈ Spec(R),i = 1,... ,n . Wegen Ass_{R}(R/𝔭_{i}) = {𝔭_{i}} (nach (4.5)) folgt durch Anwendung von (4.6) auf 0 −→ M_{i−1} −→ M_{i} −→ R/𝔭_{i} −→ 0 aber Ass_{R}(M_{i}) ⊆ Ass_{R}(M_{i−1} ) ∪ {𝔭_{i}} , also Ass_{R}(M) ⊆ {𝔭_{1},... ,𝔭_{n}}.

4.9. Folgerung. Ist 𝔞 ⊆ R ein Ideal des noetherschen Ringes R, so ist die Menge der Primteiler von 𝔞 endlich.

Beweis. R/𝔞ist als R-Modul durch 1 + 𝔞 erzeugt. Daher ist Ass_{R}(R/𝔞)endlich.

4.10. Definition. Es sei N ein Untermodul des R-Moduls M. Dann heißt N ein primärer Untermodul primäre Untermoduln von M, wenn N ≠ M und M/Ngenau ein assoziiertes Primideal hat. Ist 𝔭 dieses Primideal, so heißt N auch 𝔭-primär oder zu 𝔭 gehörig. 𝔭-primär

4.11. Lemma. Sei R ein noetherscher Ring. Dann ist der Durchschnitt endlich vieler 𝔭-primärer Untermoduln eines R-Moduls M wieder 𝔭-primär.

Beweis. Es genügt, dies für zwei 𝔭-rimäre Untermoduln N_{1},N_{2} ⊆ M zu beweisen. Dann ist M/N_{1}∩ N_{2} ≠ 0, also ∅ ≠ Ass_{R}(M/N_{1}∩ N_{2}) nach (4.3). Wir betrachten die exakte Sequenz

0 −→ N_{1}/N_{1}∩ N_{2} −→ M/N_{1}∩ N_{2} −→ M/N_{1} −→ 0. Mit (4.6) ergibt sich dann wegen N_{1}/N_{1}∩ N_{2} ≅ (N_{1}+ N_{2})/N_{2}

∅ ≠ Ass_{R}(M/N_{1}∩ N_{2}) ⊆ Ass_{R}(N_{1}+ N_{2}/N_{2}) ∪ Ass_{R}(M/N_{1}) ⊆^{(4.6)} Ass_{R}(M/N_{2}) ∪ {𝔭} = {𝔭}.

Also ist Ass_{R}(M/N_{1}∩ N_{2}) = {𝔭}.

4.12. Definition. Ein Untermodul N des R-Moduls M heißt irreduzibel (in M), wenn gilt: Ist Irreduzibilität N = U_{1}∩ U_{2} für Untermoduln U_{1},U_{2}von M, so folgt N = U_{1} oder N = U_{2}.

4.13. Lemma. Ist Rnoethersch und ist N ≠ M ein irreduzibler Untermodul von M, so ist N primär.

Beweis. (i) N ist irreduzibel in M genau dann, wenn der Nullmodul in M/Nirreduzibel ist.

(ii) Wegen M/N ≠ 0 ist Ass_{R}(M/N) ≠ ∅.

(iii) Antithese: Es seien 𝔭_{1},𝔭_{2} verschiedene Primideale in Ass_{R}(M/N). Dann gibt es in M/N Untermoduln U_{1},U_{2}mit U_{1} ≅ R/𝔭_{1}und U_{2} ≅ R/𝔭_{2}nach (4.4). Für x ∈ U_{1}∩ U_{2} mit x ≠ 0 folgte Ann_{R}(x) = 𝔭_{1} und Ann_{R}(x) = 𝔭_{2} ; Widerspruch. Somit ist U_{1}∩ U_{2} = 0 . Da (0) in M/Nirreduzibel ist (nach (i)) folgt U_{1} = 0 oder U_{2} = 0; Widerspruch.

Also hat Ass_{R}(M/N)genau ein Element.

4.14. Definition. Eine Primärzerlegung eines Untermoduls N ⊊ M ist eine Darstellung Primärzerlegung N = Q_{1}∩ ...∩ Q_{s} , wobei s ∈ ℕ und Q_{1},... ,Q_{s}primäre Untermoduln von M sind. Sie heißt reduzierte Primärzerlegung, wenn gilt reduzierte

Primärzerlegung

(i) ⋂ _{i≠j} Q_{j} ⊄ Q_{i} für i = 1,... ,s ,

(ii) ist Q_{i} 𝔭_{i}-primär, so ist 𝔭_{i} ≠ 𝔭_{j} für i ≠ j .

Die dann auftretenden Moduln Q_{1},... ,Q_{s}heißen Primärkomponenten dieser Zerlegung von N. Primärkomponenten

4.15. Satz (Existenz einer reduzierten Primärzerlegung). Es sei R ein noetherscher Ring und es sei M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann besitzt jeder Untermodul N ⊊ M eine reduzierte Primärzerlegung.

Beweis. Analog zu (I.7.17).

4.16. Beispiel. Es sei Rein faktorieller Ring und 1 ≠ a ∈ R . Ist a = ϵp_{1}^{k_{1}}··· p_{s}^{k_{s}} eine Primfaktorzerlegung von a in paarweise nicht assoziierte irreduzible Elemente p_{1},... ,p_{s} mit ϵ ∈ R^{×}, k_{i} ∈ ℕ, so ist

(a) = (p_{1}^{k_{1}}) ∩ ...∩ (p_{s}^{k_{s}}) eine Primärzerlegung des Hauptideals (a).

4.17. Satz (1. Eindeutigkeitssatz). Ist Rnoethersch, und ist N ⊊ Mein Untermodul mit einer reduzierten Primärzerlegung N = Q_{1}∩ ...∩ Q_{s} , wobei Q_{i}𝔭_{i}-primär sei, so ist Ass_{R}(M/N) = {𝔭_{1},... ,𝔭_{s}}. Die in einer reduzierten Primärzerlegung von N auftretenden Primideale sind durch M und N eindeutig bestimmt.

Beweis. Es sei U_{i} := ⋂ _{j≠i} Q_{j} , also N = U_{i}∩ Q_{i} und U_{i} ≠ N. “⊇ ” Es folgt aus dem Isomorphiesatz (0) ≠ U_{i}/N = U_{i}/U_{i}∩ Q_{i} ≅ (U_{i}+ Q_{i})/Q_{i} ⊆ M/Q_{i} , al-

so ∅ ≠ Ass_{R}(U_{i}/N) ⊆ Ass_{R}(M/Q_{i}) = {𝔭_{i}} und somit {𝔭_{i}} = Ass_{R}(U_{i}/N) ⊆^{(4.6)} Ass_{R}(M/N), also {𝔭_{1},... ,𝔭_{s}} ⊆ Ass_{R}(M/N) “⊆ ” Durch Induktion nach s: s = 1 , klar. s > 1 , dann U_{i} = ⋂ _{j≠i} Q_{j} ist eine reduzierte Primärzerlegung von U_{i}, also nach Induktionsvoraussetzung Ass_{R}(M/U_{i}) = { 𝔭_{j} | j ≠ i} . Wegen M/U_{i} ≅ (M/N)/(U_{i}/M)ergibt sich nach (4.6) aus 0 −→ U_{i}/N −→ M/N −→ M/U_{i} −→ 0 , daß Ass_{R}(M/N) ⊆ Ass_{R}(U_{i}/N) ∪ Ass_{R}(M/U_{i}) = {𝔭_{i}}∪ {𝔭_{i}| i ≠ j} .

4.18. Lemma. Es sei M ein endlich erzeugter Modul über dem noetherschen Ring R. Dann gilt

\sqrt{AnnM}= ⋂_{𝔭∈AssM} 𝔭.

Beweis. “⊆ ” Es sei a ∈ \sqrt{AnnM}, d.h. a^{k}M = 0 für ein k ∈ ℕ. Dann folgt für alle 𝔭 = Annm ∈ AssM mit m ∈ M wegen a^{k}M = 0 aber a^{k} ∈ 𝔭, also a ∈ 𝔭. “⊇ ” Sei a ∉ \sqrt{AnnM} und es sei M = Rm_{1}+ ...+ Rm_{s} . Gäbe es k_{i} ∈ ℕ mit a^{k_{i}}m_{i} = 0, so wäre für k:= max{k_{1},... ,k_{s}} aber a^{k}M = 0; Widerspruch. Also gibt es ein m ∈ M derart, daß a^{k}m ≠ 0 für alle k ∈ ℕ. Unter allen solchen Elementen mwähle eines, etwa x, mit maximalem Annulator 𝔭:= Annx.

(i) Per Definition von xgilt dann a^{k} ∉ 𝔭 für alle k ∈ ℕ

(ii) 𝔭 ist ein Primideal, denn gilt bc ∈ 𝔭 für b,c ∈ R, so folgt bcx = 0, also c ∈ Ann(bx) (⊇ Annx = 𝔭 ).

Fall 1: Ist a^{k}bx ≠ 0 für alle k ∈ ℕ, so folgt aus der Maximalität von 𝔭 = Annx schon Ann(bx) = Annx, also c ∈ 𝔭.

Fall 2: Es sei a^{k}bx = 0 für ein k ∈ ℕ. Dann ist b ∈ Ann(a^{k}x). Wegen a^{j} ∉ Annx = 𝔭 für alle j ∈ ℕ folgt a^{j} ∉ Ann(a^{k}x), daher aus der Maximalität von 𝔭 = Annx aber b ∈ Ann(a^{k}x) = Annx = 𝔭 .

Aus (i) und (ii) folgt mfp ∈ AssM und a ∉ 𝔭.

4.19. Folgerung (Kriterium für Primärmoduln). Es sei M ein endlich erzeugter Modul über dem noetherschen Ring R. Dann gilt

(a) Ein Untermodul N ⊆ M ist primär genau dann, wenn für alle a ∈ R,m ∈ M gilt am ∈ N ∧ m ∉ N ⟹ ∃k ∈ ℕ: a^{k}M ⊆ N. (1)

(b) Ist N ein 𝔭-rimärer Untermodul von M, so ist I := Ann(M/N) ein 𝔭-primäres Ideal.

(c) Ein Ideal 𝔮 ⊆ R ist ein primärer Untermodul von Rgenau dann, wenn 𝔮 ein Primärideal ist.

Beweis. (a) “⇐ ” Ist 𝔭 ∈ Ass(M/N), so sind alle a ∈ 𝔭 Nullteiler von M/N (4.3), also gibt es zu a ∈ 𝔭 ein m ∈ M\Nmit a(m + N) = 0 , d.h. am ∈ N. Mit (1) ergibt sich a ∈ \sqrt{I}:= \sqrt{Ann(M/N}) , somit 𝔭 ⊆ \sqrt{I} . Nach (4.18) gilt \sqrt{I} = ⋂ _{𝔭′∈Ass(M/N)}𝔭′⊆ 𝔭 . Also folgt 𝔭 = \sqrt{I} und somit Ass(M/N) = {𝔭}. Daher ist N ein primärer Untermodul.

“⇒ ” Ist Ass(M/N) = {𝔭}, so folgt für jeden Nullteiler a ∈ R von M/N nach (4.3) a ∈ 𝔭, also wegen (4.18) a^{k} ∈ I = Ann(M/N) für ein k ∈ ℕ. Somit ist (1) erfüllt.

(b) Es seien a,b ∈ R mit ab ∈ I, aber b ∉ I, d.h. ab(M/N) = 0, aber b(M/N) ≠ 0. Somit ist a ein Nullteiler von M/N, also a ∈ 𝔭 (nach (4.3)). Aber 𝔭 = \sqrt{I} (4.18), d.h., I ist ein 𝔭-primäres Ideal.

(c) Folgt durch Vergleich von (1) mit Definition (I.7.5).

4.20. Bemerkung. Für ein Ideal 𝔞 ⊆ R stimmen die Definitionen der Primärzerlegung in (I.7.16) und (4.11) überein. Insbesondere sind die Primteiler von 𝔞 genau die im Sinne von Definition (I.7.21) assoziierten Primideale von 𝔞. Diese Definition werden wir künftig nicht mehr verwenden. Beispiel: R = K[X], 𝔮 = (X^{2}). Ass_{R}(R/𝔮) = {(x)}, aber Ass_{R}(𝔮) = {0} , da RIntegritätsring.

4.21. Bemerkung. Ist M ein endlich erzeugter Modul über dem noetherschen Ring R, und ist 0_{M} = Q_{1}∩ ...∩ Q_{s} , wobei {𝔭_{i}} = Ass(M/Q_{i}) die Primärzerlegung des Nullmoduls, so ist Ass_{R}(M) = {𝔭_{1},... ,𝔭_{s}}.

Beweis. Dies folgt aus dem ersten Eindeutigkeitssatz (4.17).

4.22. Definition. Es sei Nein Untermodul von Mmit reduzierter Primärzerlegung N = Q_{1}∩ ...∩ Q_{s} , Ass(M/Q_{i}) = {𝔭_{i}}. Dann heißen die minimalen Elemente in {𝔭_{1},... ,𝔭_{s}} isolierte Primideale von isolierte Primideale M/Nund die entsprechenden Q_{i} isolierte Primärkomponenten von N. Die verbleibenden Primideale isolierte bzw. Primärkomponenten heißen eingebettet. Primärkomponenten

eingebettete Primärkomponenten

4.23. Beispiel. Im Polynomring K[x,y]gilt (x^{2},xy) = (x) ∩ (x^{2},y) = (x) ∩ (x^{2},x + y) . Dabei ist (x) ein isoliertes Primideal und (x^{2},y) bzw. (x^{2},x + y) sind eingebettete Primärideale, die zum Primideal (x,y)gehören. Der Name “eingebettet” erklärt sich geometrisch: Es ist V (x^{2},y) ⊆ V (x)und V (x^{2},x + y) ⊆ V (x).

4.24. Satz (2. Eindeutigkeitssatz). Es sei Nein Untermodul von Mmit reduzierter Primärzerlegung N = Q_{1}∩ ...∩ Q_{s} . Dann sind die isolierten Primärkomponeneten von N eindeutig durch M und N bestimmt (d.h. unabhängig von der gewählten Primärzerlegung von N.) Obacht: Die analoge Aussage ist falsch für eingebettete Primärkomponenten.

Beweis. Dies beweist man mit Hilfe der Lokalisierung von Moduln und soll hier nicht gezeigt werden.

4.25. Definition. Die Krull-Dimension dimR eines Ringes R ist das Supremum der Längen n der Krull-Dimension Primidealketten dimR

𝔭_{0} ⊊ 𝔭_{1} ⊊ ... ⊊ 𝔭_{n} in Spec(R). Die Höhe h(𝔭)eines Primideals 𝔭 ∈ Spec(R) ist das Supremum der Längen aller Ketten mit 𝔭_{n} = 𝔭 . Die Höhe eines beliebigen Ideals 𝔞 ⊊ Rist h(𝔞) := inf{h(𝔭)|𝔭 ∈ SpecR, 𝔞 ⊆ 𝔭} Höhe h(𝔞)

4.26. Beispiel. (i) Im Polynomring R = K[x_{0},... ,x_{n}]hat man die Primidealkette

(0) ⊊ (x_{0}) ⊊ (x_{0},x_{1}) ⊊ ... ⊊ (x_{0},... ,x_{n}). Daraus folgt dimR ≥ n + 1 . Es ist dimR = n + 1 und h(x_{0},... ,x_{i}) = i + 1 . (Ohne Beweis)

(ii) Es ist dimℤ = 1 und h(0) = 0 , und für jede Primzahl p ∈ ℤ gilt h(p) = 1 .

(iii) Ist Rein Integritätsring, so ist dimR = 0 genau dann, wenn Rein Körper ist.

Beweis. Im Integritätsring ist (0) ein Primideal.

4.27. Lemma. Es sei 𝔞 ⊆ R ein Ideal. Dann gilt

(a) Ist Rnoethersch, so gelten

h(𝔞) = min{h(𝔭)|𝔭 ∈ Ass_{R}(R/𝔞)} und dim(R/𝔞) = max{dimR/𝔭|𝔭 ∈ Ass_{R}(R/𝔞)}. Insbesondere ist dimR/𝔞 = dimR/\sqrt{𝔞}.

(b) dimR/𝔞 + h(𝔞) ≤ dimR

Beweis. (a) Es sei P ∈ SpecRein Primideal mit 𝔞 ⊆ P. Wegen ⋂ _{𝔭∈Ass(R/𝔞)}𝔭 = \sqrt{𝔞} ⊆ \sqrt{P}= P gibt es ein 𝔭 ∈ Ass(R/𝔞) mit 𝔭 ⊆ P. Damit folgt h(𝔞) = min{h(𝔭)|𝔭 ∈ Ass_{R}(R/𝔞)} .

Ist 𝔭_{0} ⊊ 𝔭_{1} ⊊ ... ⊊ 𝔭_{h} eine Primidealkette in R/𝔞, so erhalten wir vermöge des kanonischen Epimorphismus π: R −→ R/𝔞 eine Primidealkette 𝔞 ⊊ π^{−1} (𝔭_{0}) ⊊ π^{−1} (𝔭_{1}) ⊊ ... ⊊ π^{−1} (𝔭_{h}) und ein 𝔭 ∈ Ass(R/𝔞) mit 𝔭 ⊆ π^{−1} (𝔭_{0}) . Dann ist π^{−1} (𝔭_{0})/𝔭 ⊊ π^{−1} (𝔭_{1})/𝔭 ⊊ ... ⊊ π^{−1} (𝔭_{n})/𝔭 eine Primidealkette in R/𝔭. Dies zeigt dimR/𝔞 ≤ dimR/𝔭.

Umgekehrt liefert jede Primidealkette in R/𝔭, wobei 𝔭 ∈ Ass(R/𝔞), eine Primidealkette in R/𝔞 gleicher Länge.

Dies zeigt dimR/𝔭 ≤ dimR/𝔞.

(b) Ist mit obigen Bezeichnungen 𝔮_{0} ⊊ 𝔮_{1} ⊊ ... ⊊ 𝔮_{s} = 𝔭:= π^{−1} (𝔭_{0}) eine Primidealkette in R, so erhalten wir daraus eine Primidealkette 𝔮_{0} ⊊ ... ⊊ 𝔮_{s} = π^{−1} (𝔭_{0}) ⊊ ... ⊊ π^{−1} (𝔭_{n}) der Länge s + n. Daraus folgt dimR ≥ n + h(𝔞) , also schließlich dimR ≥ dimR/𝔞 + h(𝔞) .

maximale 4.28. Definition. Eine Primidealkette 𝔭_{0} ⊊ 𝔭_{1} ⊊ ... ⊊ 𝔭_{s} ⊊ R heißt maximal, wenn sie nicht durch Primidealketten ein 𝔭 ∈ SpecR verlängert werden kann, d.h., wenn für jedes 𝔭 ∈ Spec(R) die Bedingungen 𝔭 ⊊ 𝔭_{0},

𝔭_{s} ⊊ 𝔭 und 𝔭_{i} ⊊ 𝔭 ⊊ 𝔭_{i+1} verletzt sind.

Noethersche Ringe müssen nicht endliche Krull-Dimension haben. Ferner kann es in noetherschen Integritätsringen maximale Primidealketten verschiedener Länge geben. Im geometrischen Kontext ist die Situation besser.

4.29. Satz. Es sei A = K[x_{1},... ,x_{n}]/𝔞. Sind 𝔭,𝔮 ∈ SpecA Primideale mit 𝔭 ⊆ 𝔮 , so haben alle maximalen Primidealketten 𝔭 = 𝔭_{0} ⊊ 𝔭_{1} ⊊ ... ⊊ 𝔭_{l} = 𝔮 die gleiche Länge l, nämlich dimA/𝔭 − dimA/𝔮. Zusatz: Ist Aein Integritätsring, so gilt für jedes Ideal I von A: dimA = h(I) + dim(A/I).

Beweis. Es sei 0 = 𝔮_{0} ⊊ ... ⊊ 𝔮_{t} eine Primidealkette in A/𝔮 maximaler Länge t = dimA/𝔮 ≤ n = dimK[x_{1},... ,x_{n}]. Es sei π: A −→ A/𝔮 der kanonische Epimorphismus. Dann ist 0 = 𝔭_{0}/𝔭 ⊆ 𝔭_{1}/𝔭 ⊆ ... ⊆ 𝔭_{l}/𝔭 = 𝔮/𝔭 = π^{−1} (𝔮_{0})/𝔭 ⊆ π^{−1} (𝔮_{1})/𝔭 ⊆ ... ⊆ π^{−1} (𝔮_{t})/𝔭 eine Primidealkette in A/𝔭der Länge l + t = l + dimA/𝔮 , also dimA/𝔭 ≥ l + dimA/𝔮 . Die Umkehrung l ≥ dimA/𝔭 − dimA/𝔮 verlangt stärkere Hilfsmittel (Siehe etwa Kunz: “Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie”) Zusatz: Mit 𝔭 = (0) folgt für alle 𝔮 ∈ SpecA, daß h(𝔮) = dimA − dimA/𝔮. Die Behauptung ergibt sich daher aus Lemma (4.27).

4.30. Bemerkung. Es ist A/I ≅ K[x_{1},... ,x_{n}]/Jfür ein Ideal J ⊆ K[x_{1},... ,x_{n}] =: R

Beweis. J := π^{−1} (I), dann ist I = J/𝔞 und somit A/I ≅ (R/𝔞)/J/𝔞 ≅ R/J

4.31. Definition. Es sei M ein R-Modul. Dann nennt man dimM := dim_{R}M := dimR/Ann_{R}(M) die

Krull-Dimension (Krull-)Dimension von M.

dim_{R}M

Ist F ein freier R-Modul, so ist dimF = dimR, denn Ann_{R}(R) = 0 wegen 1 ∈ R.

4.32. Lemma. Hat der R-Modul M die Präsentationsmatrix A ∈ R^{p×q}, so ist dimM = dimR/I_{p}(A).

Beweis. Es gilt (ohne Beweis) \sqrt{I_{p}(A)}= \sqrt{AnnM}. Also folgt die Behauptung aus

dimM = dimR/AnnM =^{4.27} dimR/\sqrt{AnnM}.

4.33. Beispiel. Es sei R = K[x,y,z]. Dann gilt für A = (x,y)^{t}, B = ( \begin{matrix}x & z \\ y & x \end{matrix} ) aber dim(CokernA) =

dimR = 3, da I_{2}(A) = 0, und dim(CokernB) = dimR/I_{2}(B) = dimR/(x^{2}− yz) = 2 , da x^{2}− yz ein homogener Nichtnullteiler von Rist.

4.34. Lemma. Ist M ein endlich erzeugter Modul über dem noetherschen Ring R, so gilt dimM = max{dimR/𝔭|𝔭 ∈ Ass_{R}(M)} .

Beweis. Wegen Ann_{R}(M) = ⋂ _{𝔭∈Ass_{R}(M)} 𝔭 folgt die Behauptung aus (4.27).

4.35. Lemma. Es sei 0 −→ M′−→ M −→ M′′−→ 0 eine exakte Sequenz von R-Moduln. Dann gilt

(a) dimM ≥ max{dimM′,dimM′′}.

(b) Ist Rnoethersch, und sind M,M′,M′′endlich erzeugt, so gilt dimM = max{dimM′,dimM′′}.

Beweis. (a) Nach Übungsaufgabe 13 ist AnnM′⊇ AnnM, also dimM′≤ dimM, und auch AnnM ⊆ AnnM′′, also dimM′′≤ dimM.

(b) Wegen AssM ⊆ AssM′∪ AssM′′ folgt nach (4.34) dimM ≤ max{dimM′,dimM′′}, also folgt die Behauptung mit (a).

4.36. Satz (Krullscher Hauptidealsatz). Ist Rein noetherscher Ring und ist 𝔞 ⊊ Rein Ideal, so gilt für jeden minimalen Primteiler 𝔭 von 𝔞

h(𝔭) ≤ μ(𝔞), also insbesondere h(𝔞) ≤ μ(𝔞) .

Beweis. Für die erste Behauptung sei wieder auf Kunz, Theorem V.3.4 verwiesen. Die zweite Behauptung folgt aus der ersten wegen Lemma (4.27).

4.37. Folgerung. Ist a ∈ R\R^{×} ein Nichtnullteiler des noetherschen Ringes R, so hat jeder minimale Primteiler von (a) = aR die Höhe 1.

Beweis. Nach Definition (4.36) gilt h(𝔭) ≤ 1 . Als Nichtnullteiler ist a aber in keinem assoziierten Primideal von Renthalten.

4.38. Bemerkung. Ist Rein noetherscher Ring, so sind für 𝔭 ∈ SpecR äquivalent:

(i) 𝔭 ist ein Primideal der Höhe null,

(ii) 𝔭 ist ein isoliertes Primideal von (0_{R}),

(iii) 𝔭 ist ein minimales Primideal von R. vollständige 4.39. Definition. Ein Ideal 𝔞 ⊊ Rdes noetherschen Ringes Rheißt vollständiger Durchschnitt, wenn

Durchschnitte h(𝔞) = μ(𝔞) .

Ein Schema S ⊆ 𝔸^{n} bzw. S ⊆ ℙ^{n} heißt vollständiger Durchschnitt, wenn sein Ideal I_{S} ein vollständiger Durchschnitt ist.

4.40. Beispiel. (i) Jeder Punkt, jede Gerade im ℙ^{n} ist ein vollständiger Durchschnitt, denn für 𝔞 = (x_{0},x_{1},... ,x_{k}) gilt μ(𝔞) = k + 1 und (0) ⊊ (x_{0}) ⊊ (x_{0},x_{1}) ⊊ ... ⊊ (x_{0},... ,x_{k}) = 𝔞, al-

so k + 1 ≤ h(𝔞) ≤^{4.36} μ(𝔞) ≤ k + 1 . Somit gilt Gleichheit.

(Alternativ: R = K[x_{0},... ,x_{n}], h(𝔞) = dimR − dimR/𝔞 = n + 1 − dimK[x_{k+1},... ,x_{n}] = k + 1 )

(ii) 𝔞 = (x_{0}^{3},x_{1}^{2}) ist ein vollständiger Durchschnitt der Höhe 2, denn μ(𝔞) ≤ 2 und dimR/𝔞 = dimR/\sqrt{𝔞} = dimR/(x_{0},x_{1}) = n − 1 , also h(𝔞) = dimR − dimR/𝔞 = 2 .

Eine partielle Umkehrung zum Krullschen Satz liefert

4.41. Folgerung. Ist Rnoethersch und ist 𝔭 ∈ SpecR ein Primideal der Höhe c, so ist 𝔭 minimaler Primteiler eines vollständigen Durchschnitts der Höhe c.

Beweis. Per Induktion über 0 ≤ s ≤ c konstruieren wir Ideale (a_{1},... ,a_{s}) ⊆ 𝔭 der Höhe s. s = 0 ist klar. Ist s > 0 , und hat (a_{1},... ,a_{s−1} ) ⊆ 𝔭 die Höhe s − 1 , so ist 𝔭 nach (4.36) in keinem minimalen Primteiler von (a_{1},... ,a_{s−1} ) enthalten. Nach dem “Primidealvermeidungslemma” gibt es also ein a_{s} ∈ 𝔭, das in keinem minimalen Primteiler von (a_{1},... ,a_{s−1} ) enthalten ist. Es folgt h(a_{1},... ,a_{s−1} ,a_{s}) ≥ s, also Gleichheit nach (4.36)

4.42. Folgerung. Ist (R,𝔪) ein noetherscher lokaler Ring endlicher Dimension, und ist a ∈ 𝔪 in keinem minimalen Primideal von Renthalten, so gilt dimR/aR = dimR − 1.

Beweis. Es sei d = dimR. Nach Voraussetzung ist h(aR) ≥ 1. Wegen Krull folgt h(aR) = 1. Aus d = dimR ≥ h(aR) + dimR/aR folgt dimR/aR ≤ d − 1 . Da 𝔪 das einzige maximale Ideal ist, ist h(𝔪) = dimR = d . Wegen a ∈ 𝔪 und h(aR) = 1 gibt es wie im Beweis von (4.41) Elemente a_{1} := a,a_{2},... ,a_{d} ∈ 𝔪 mit h(a_{1},... ,a_{i}) = i für i = 1,... ,d . Folglich gibt es minimale Primteiler 𝔭_{i} von (a_{1},... ,a_{i}), so daß wir eine Kette aR ⊂ 𝔭_{1} ⊊ 𝔭_{2} ⊊ ... ⊊ 𝔭_{d} = 𝔪 , haben. Also ist 𝔭_{1}/aR ⊊ 𝔭_{2}/aR ⊊ ... ⊊ 𝔭_{d}/aReine Primidealkette in Spec(R/aR), somit dimR/aR ≥ d − 1 .

4.43. Folgerung. (i) Ohne die Voraussetzung lokal kann dimR/aR < dimR − 1 gelten.

(ii) Die Folgerung präzisiert die Vorstellung, daß die Hinzunahme einer Gleichung die Dimension um eins verringert. Beispiel: Es sei S ⊆ ℙ^{3} definiert durch I_{S} = (x_{0},x_{1}) ∩ (x_{1},x_{2},x_{3}) (Gerade ∪ Punkt) und F die durch f = x_{0}^{2}+ x_{1}^{2}+ x_{2}^{2} definierte Hyperfläche. Dann hat S ∩ F die Dimension null, denn mit R = K[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]folgt mit

dim[(R/I_{S})/f · (R/I_{S})]= dimR/I_{S}+ f · R = dimR/I_{S}− 1 = 2 − 1 = 1,

daß dimS ∩ F = dimR/(I_{S}+ f · R)_{sat}− 1 = dim[R/I_{S}+ f · R]− 1 = 0.

Hyperflächenschnitt S ∩ F nennt man den Hyperflächenschnitt von S mit F. Es gilt auch dim[S ∩ V (x_{1}^{2}+ x_{2}^{2})] = 0 , denn \sqrt{I_{S}+ gR} = \sqrt{(x_{0},x_{1},g)}∩ \sqrt{(x_{1},x_{2},x_{3},g)}= (x_{0},x_{1},x_{2}) ∩ (x_{1},x_{2},x_{3})und dimR/I_{S}+ gR = dimR/\sqrt{I_{S}+ gR} = 1 .

4.44. Folgerung. Es sei 𝔞 ≠ R ein homogenes Ideal von R = K[x_{0},... ,x_{n}]. Ferner sei f ∈ 𝔪 = (x_{0},... ,x_{n}) ein homogenes Ideal, das in keinem minimalen Primteiler von 𝔞 enthalten ist. Dann gilt

dimR/𝔞 + fR = dimR/𝔞 + 1.

Beweis. Setze A:= R/𝔞. Da A graduiert ist, gibt es eine Kette homogener Primideale 𝔭_{0} ⊊ 𝔭_{1} ⊊ ... ⊊ 𝔭_{d} = 𝔪 in R/𝔞, wobei d = dimR/𝔞 (ohne Beweis). Es folgt h(𝔪) = d. Daher ergibt sich die Behauptung wie in (4.42).